Zweistellige Verknüpfung

In der Mathematik ist eine zweistellige Verknüpfung (auch binäre Verknüpfung) eine Verknüpfung mit zwei Operanden.

Definition

Eine zweistellige Verknüpfung auf einer Menge S ist eine Funktion von S × S nach S.

Zweistellige Verknüpfungen sind ein wichtiger Bestandteil von algebraischen Strukturen, die in der abstrakten Algebra untersucht werden. Sie treten auf bei Gruppen, Halbgruppen, Ringen und anderen Strukturen.

Viele binäre Verknüpfungen, die man betrachtet, sind kommutativ oder assoziativ. Viele haben auch ein neutrales Element und inverse Elemente. Typische Beispiele binärer Verknüpfungen sind die Addition und Multiplikation von Zahlen und Matrizen, sowie die Komposition von Funktionen.

Schreibweisen

Binäre Verknüpfungen schreibt man oft in Infix-Notation, wie bei a + b, a · b, anstelle einer Funktionsnotation wie +(a, b). Multiplikationen werden oft ganz ohne Symbol geschrieben: ab = a · b.

Man kann sie aber auch in Präfix- oder Postfix-Notation angeben. Eine Präfixnotation ist z.B. die gewöhnliche Funktionsschreibweise f(a, b). Die bekannteste Postfixnotation ist die Umgekehrte Polnische Notation, die ohne Klammern auskommt.

Äußere binäre Verknüpfung

Eine zweistellige Funktion von K × S nach S nennt man eine äußere zweistellige Verknüpfung. Sie unterscheidet sich von einer zweistelligen Verknüpfung im engeren Sinne dadurch, dass K keine Teilmenge von S sein muss, dass also der erste Operand von außerhalb kommt.

Ein Beispiel dafür ist die skalare Multiplikation in der linearen Algebra. Hier ist K ein Körper und S ein Vektorraum über diesem Körper.

Eine äußere binäre Verknüpfung kann man oft auch als Operation auffassen, K operiert dann auf S.

Siehe auch: Einstellige Verknüpfung