Zufallsvariable

Als Zufallsvariable oder Zufallsgröße bezeichnet man eine mathematische Variable, die je nach dem Ergebnis einer als zufällig aufgefassten Prozedur verschiedene Werte annehmen kann. Die Prozedur kann eine Auslosung sein, die Berechnung einer Pseudozufallszahl oder die Messung einer statistisch verteilten und/oder mit Messfehler behafteten Größe. Beispielsweise ist die Augenzahl eines Würfels eine Zufallsvariable, die die Werte 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 annehmen kann.

Wenn die Menge der möglichen Werte einer Zufallsvariablen endlich (wie beim Würfel) oder abzählbar unendlich ist, nennt man die Zufallsvariable diskret. Wenn die Wertemenge überabzählbar ist, typischerweise also aus reellen Zahlen besteht (wie bei der idealisierten Messung einer physikalischen Größe), heißt die Zufallsvariable stetig (kontinuierlich).

Die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Werte einer diskreten Zufallsvariable bilden eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln mit zwei Würfeln die Gesamtaugenzahl Z zu erreichen, folgt zum Beispiel der Wahrscheinlichkeitsverteilung P(Z)=(6-|7-Z|)/36.

Den möglichen Wert einer kontinuierlichen Zufallsvariablen kann man dagegen keine endliche Wahrscheinlichkeit zuordnen; man muss hier mit Wahrscheinlichkeitsdichten und/oder kumulativen Wahrscheinlichkeitsverteilungen arbeiten.

In einer abstrakteren Formulierung der Wahrscheinlichkeitstheorie bezeichnet als Zufallsvariable eine messbare Funktion von einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen Maßraum. Normalerweise wählt man als Bildraum die Menge der reellen Zahlen, ausgestattet mit der Borelschen σ-Algebra.