Ziegenproblem

Das Ziegenproblem (auch als Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma bekannt) dient zur Veranschaulichung eines "Problems" aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung und den Schwierigkeiten im Verständnis der bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Ablauf

Bei einer Spielshow im Fernsehen soll ein Kandidat eines von drei aufgebauten Toren auswählen. Hinter einem verbirgt sich der Gewinn, ein Auto, hinter den anderen beiden jeweils eine Ziege, also Nieten.

Der Spieler tut wie ihm befohlen.

Nun lässt der Moderator, der die Belegung der Tore kennt, eines der beiden anderen Tore öffnen. Natürlich befindet sich dahinter eine Ziege. Der Moderator bietet dem Spieler darauf hin an, seine Entscheidung zu überdenken und das andere Tor zu wählen.

Was sollte er tun?

Erklärung

Auch wenn die allermeisten Menschen dazu neigen, davon auszugehen, dass es keinen Unterschied macht zu wechseln oder bei der getroffenen Entscheidung zu bleiben, ist diese Annahme falsch.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter dem zunächst gewählten Tor befindet, beträgt 1/3, dass es hinter einem der anderen beiden steht, 1/3 + 1/3 = 2/3. Wenn nun klar ist, hinter welchem Tor das Auto nicht steht, dieses also die Wahrscheinlichkeit 0 hat, das ausgewählte Tor aber immer noch eine 1/3-Chance hat - siehe weiter unten, liegt jetzt die 2/3-Wahrscheinlichkeit auf dem nichtgewählten Tor. Bei einem Wechsel verdoppelt der Kandidat also seine Chancen auf das Auto.

Um das Problem zu verstehen, muss man bedenken, dass die Chance auf dem gewählten Tor von Anfang an nur 1/3 betrug, und sich beim Festhalten des Spielers an seiner Wahl auch nicht ändern kann - unabhängig ob der Showmaster ein Ziegentor öffnet oder nicht - andererseits die Wahrscheinlichkeitssumme aller Auswahlmöglichkeiten 1 beträgt.

Oder anders: Wenn man nach der ersten Auswahl hinter das Tor schauen könnte, würde man in wahrscheinlich 2/3 aller Fälle eine Ziege finden. Die Ziege bleibt, egal ob der Showmaster das andere Ziegentor öffnet oder nicht.Im Gegenzug würde man hinter den anderen beiden Toren in rund 2/3 aller Fälle eine Ziege und ein Auto finden. Das Auto bleibt, die Ziege scheidet aus.

Schema

Bei einer "Wechsel"-Strategie zeigen sich drei Fälle:

   A               B               C

   Ziege          Ziege           Auto

  /-----/        /-----/         /-----/

   Kandidat

 

Der Kandidat wählt vorerst A, die Ziege B wird ihm gezeigt, durch einen Wechsel von A auf C gewinnt er.

   A               B               C

   Ziege          Ziege           Auto

  /-----/        /-----/         /-----/

                  Kandidat

 

Der Kandidat wählt vorerst B, die Ziege A wird ihm gezeigt, durch einen Wechsel von B auf C gewinnt er.

   A               B               C

   Ziege          Ziege           Auto

  /-----/        /-----/         /-----/

                                 Kandidat

 

Der Kandidat wählt vorerst C, die Ziege A (oder B) wird ihm gezeigt, durch einen Wechsel von C auf B (oder A) verliert er.

Ergo: er gewinnt in zwei von drei Fällen durch einen Wechsel.

Beim Schätzen und Berechnen von Wahrscheinlichkeiten ist es wichtig, keine Informationen, die zur Verfügung stehen, zu übersehen. Ein Entscheidungsbaum, der Satz von Bayes oder die Angabe in absoluten Häufigkeiten macht das leichter.

Das Ziegenproblem wird oft als Beispiel dafür herangezogen, dass der menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht.

Literatur

• Gero von Randow: Das Ziegenproblem - Denken in Wahrscheinlichkeiten. Rowohlt, Reinbek 1992. ISBN_3-499-19337-X

Weblinks

• http://www.mister-mueller.de/mathe/beispiele/ziege/ziegenproblem.html - recht anschauliche Beschreibung
• http://www.mathematik.uni-osnabrueck.de/staff/phpages/koch/ziegen/ - diese ist etwas mathematischer
• [1] groups.google.com Darstellung mit einem Entscheidungsbaum