Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft

Die Zentripetalkraft ist eine physikalische Kraft, die an einem Körper angreift, der sich auf einer kreisförmigen Bahn bewegt. Sie hält den Körper auf seiner Kreisbahn und ist nach innen zum Kreismittelpunkt bzw. zur Drehachse gerichtet.

Bekannter als die Zentripetalkraft ist die Zentrifugalkraft, die auch als Fliehkraft bezeichnet wird. Sie hat denselben Betrag wie die Zentripetalkraft, ist jedoch nach außen, vom Mittelpunkt oder der Achse weg gerichtet. Die Zentrifugalkraft ist eine Trägheitskraft bzw. Scheinkraft.

Zentrifugalkräfte und Zentripetalkräfte greifen nicht immer am Schwerpunkt des Körpers an.

Technische Anwendungen der Zentrifugalkraft sind die Zentrifuge und der Fliehkraftregler

Die Zentripetalkraft als Ursache der Kreisbewegung

Nach dem Trägheitsprinzip (1. Newtonsches Axiom) haben alle Körper eine ihnen innewohnende Trägheit. Jeder Körper behält nach diesem Prinzip seine Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung für alle Zeiten bei, sofern keine äußeren Einflüsse auf ihn einwirken. Eine solche geradlinig gleichförmige Bewegung benötigt also keine Ursache.

Die äußeren Einflüsse erklärte Isaac Newton durch Kräfte. Jede Geschwindigkeits- und Richtungsänderung wird nach ihm durch eine solche Kraft erklärt. Beobachtet man eine Richtungsänderung, so weist die Kraft immer in Richtung der Ablenkung.

Um einen Körper auf eine Kreisbahn (die ja nicht geradlinig ist) zu zwingen, wird eine beständige Ablenkung in Richtung des Mittelpunktes benötigt. Diese wird als Zentripetalkraft bezeichnet. Diese Kraft ist daher die Ursache der Kreisbewegung.

Beobachter auf Kreisbahnen spüren Zentrifugalkräfte

Für den Erwachsenen, der einem Kind im Karussell vom Rand aus zuschaut, existieren keine Zentrifugalkräfte. Er wird als ruhend bezeichnet. Das Kind im Karussell wird durch die nach innen wirkende Zentripetalkraft abgelenkt und bewegt sich dadurch mit seinem Karussellsitz im Kreis. Genauer muss man sagen, dass auf den Sitz die Zentripetalkraft wirkt, da er fest mit dem Karussell verbunden ist. Das Material des Sitzes gibt sie dann als Gegenkraft an das Kind weiter.

Das Kind selbst spürt jedoch im Karussell, wie es durch eine Kraft zum Außenrand des Sitzes gedrückt wird. Glücklicherweise haben alle Kinderkarusselle eine drehbare Aufhängung, sodass der Sitz sich mit der Aufhängung neigt. Wären die Sitze nicht drehbar aufgehängt, so würde das Kind tatsächlich nach außen gedrückt. Diese Kraft ist die Zentrifugalkraft.

Der Sitz drückt jetzt mit der Zentripetalkraft, die betragsmäßig gleich der Zentrifugalkraft ist, gegen das Kind, damit die resultierende Kraft auf das Kind Null ist. Anderenfalls rutschte das Kind unweigerlich vom Sitz, was nicht ungefährlich sein kann.

Zentrifugalkräfte hängen vom Bewegungszustand des Beobachters ab. Da sie für ruhende Beobachter nicht vorhanden sind, gehören sie stets zu den Scheinkräften. Scheinkräfte treten nur in beschleunigten Bezugssystemen auf. Eine Kreisbahn mit konstanter Geschwindigkeit ist aus physikalischer Sicht beschleunigt, da sich die Richtung der Bewegung beständig ändert.

Beobachter und Bezugssysteme

Beobachter

Die Zentrifugalkraft war nur für das Kind im Karussell spürbar. Der Erwachsene, der dem Kind zuschaut, sieht nur die Zentripetalkraft, die den Karussellsitz und mit ihm das Kind auf eine Kreisbahn zwingt. Das Kind beobachtet sich selbst, es wird Beobachter genannt. Auch der Erwachsene am Rand ist Beobachter.

Kräfte im Karussell

Für die beiden Beobachter treten unterschiedliche Kräfte auf:

• Der Erwachsene sieht die Kreisbahn, die Zentripetalkraft ist für ihn die Ursache dieser Bahn.
• Das Kind sieht sich jedoch genau genommen nicht auf einer Kreisbahn. Stattdessen rotiert der Jahrmarkt um es herum, auch der Erwachsene. Der Sitz bewegt sich jedoch aus der Sicht des Kindes nicht. Wenn also eine Zentrifugalkraft wirkt, die es konkret wahrnimmt, so muss eine entgegen gerichtete, gleich große Kraft diese gerade aufheben. Dies ist die Zentripetalkraft.

Hält das Kind einen Apfel in der Hand und lässt ihn los, so bewegt er sich aus seiner Sicht nach außen. Auch dafür macht es die Zentrifugalkraft verantwortlich. Der Erwachsene am Rand sieht den Apfel jedoch tangential davonfliegen. Da er geradlinig davonfliegt, sind für den Erwachsenen keine Kräfte erforderlich.

Scheinkräfte

Die Betrachtung des Karussellbeispiels ergibt:

• Beide Beobachter, Kind und Erwachsener, nehmen die Zentripetalkraft wahr.
• Nur das Kind nimmt die Zentrifugalkraft wahr.

Die Zentrifugalkraft ist also abhängig vom Beobachter. Da nur das Kind sie wahrnimmt, nennt man sie Scheinkraft. Die Zentripetalkraft wird von beiden Beobachtern wahrgenommen. Sie ist keine Scheinkraft.

Bezugssysteme

Ein Beobachter bezieht sich auf seinen Standpunkt. Will er die Position anderer Objekte angeben, muss er ein Koordinatensystem verwenden, in dessen Nullpunkt er sich selbst befinden. Ein solches Koordinatensystem, in dessen Nullpunkt sich ein - realer oder angenommener - Beobachter befindet, heißt Bezugssystem.

Im Bezugssystem des Kindes tritt die Zentripetal- und Zentrifugalkraft auf, es treten also auch Scheinkräfte auf. Im Bezugssystem des Erwachsenen tritt nur die Zentripetalkraft auf, die keine Scheinkraft ist.

Bezugssysteme, in denen keine Scheinkräfte auftreten, nennt man auch Inertialsysteme. Der Erwachsene befindet sich in einem solchen Inertialsystem (wenn man von der sehr kleinen Erdrotation absieht). Das Kind befindet sich nicht in einem Inertialsystem, sondern in einem rotierenden Bezugssystem.

Mathematische Grundlagen

Berechnung

Für einen Körper der Masse m, der sich im Abstand r mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn bewegt, ist der Betrag der Zentripetalkraft:

(Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft)

Sie ist nach innen gerichtet. Die Zentrifugalkraft hat den gleich großen Betrag und ist nach außen gerichtet.

Mit der Kreisfrequenz ω ist der Betrag der Geschwindigkeit v=ω r, die Zentripetalkraft kann also auch so berechnet werden:

(Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft)

Darstellung als Vektorprodukt

Verwendet man die Vektoren

(Zentripetalkraft)

Die Zentrifugalkraft ist dieselbe Kraft mit negativem Vorzeichen.

(Zentrifugalkraft)

Zentripetal- und Zentrifugalbeschleunigung

In den Formeln taucht die Masse m als Faktor auf. Ein doppelt so schwerer Körper erfährt daher die doppelte Kraft. Kräfte führen aber wegen Kraft=Masse x Beschleunigung zu Beschleunigungen. Die Beschleunigung auf einer bestimmten Kreisbahn ist für jeden Körper gleich, unabhängig von seiner Masse:

(Zentripetal- und Zentrifugalbeschleunigung)

bzw.

(Zentripetal- und Zentrifugalbeschleunigung)

Rotierende Bezugssysteme

In rotierenden Bezugssystemen treten Zentrifugalkräfte und Zentripetalkräfte als Scheinkräfte auf.

Beobachtung eines ruhenden Körpers aus dem rotierenden Bezugssystem

Ein im ruhenden Bezugssystem (einem Inertialsystem) kräftefreier Körper hat eine konstante Geschwindigkeit. Nimmt man an, dass er dort im Abstand r von der Achse eines rotierenden Bezugssystems ruht, so beschreibt er im rotierenden System einen Kreis mit dem Radius r. Hierzu wäre eine zur Achse gerichtete Zentripetalkraft von der Größe mv^2/r nötig, die der Beobachter im rotierenden System als die Ursache der Kreisbewegung annimmt. Im ruhenden System ist der Körper aber kräftefrei, die Zentripetalkraft ist dort nicht vorhanden. Sie ist daher eine Scheinkraft.

Beobachtung eines mitrotierenden Körpers

Ist der Beobachter im rotierenden System im Abstand r_b von der Achse entfernt und hat selbst die Masse m_b, so spürt er die Zentrifugalkraft, die ihn nach außen zieht. Er wendet also eine Gegenkraft, die Zentripetalkraft, auf um nicht nach außen zu fliegen. Da er sich als ruhend empfindet, ist die Gesamtkraft für ihn dann Null.

Im ruhenden System ist klar, dass diese Kraft durch die kreisförmige Bewegung mit v_b verursacht wird und der Beobachter durch eine Zentripetalkraft

auf seiner Kreisbahn gehalten wird. Die Zentrifugalkraft fehlt hier, die Bewegung ist ja nicht gleichförmig und der Beobachter nicht kräftefrei. Die Zentrifugalkraft ist hier also Scheinkraft.

Zusammenfassung

Beobachtung eines bewegten Körpers aus dem rotierenden Bezugssystem

Ein kräftefreier Körper bewegt sich im ruhenden Bezugssystem geradlinig. Der Abstand r zur Achse eines rotierenden Systems ändert sich also. Der rotierende Beobachter nimmt wie beim ruhenden Körper eine sich nun aber ändernde Zentripetalkraft zur Drehachse an.

Zusätzlich tritt jedoch eine Ablenkung quer zur Bewegungsrichtung auf. Diese rührt daher, dass der Körper im rotierenden System verschiedene Geschwindigkeitsbereiche durchläuft. Nach außen wird die Umlaufgeschwindigkeit immer größer. Entfernt sich der Körper von der Drehachse, so müsste er in Drehrichtung beschleunigt werden, um "mithalten" zu können. Er bleibt also gegenüber dem Bezugssystem zurück. Der rotierende Beobachter nimmt eine Beschleunigung entgegen der Drehrichtung war, deren Ursache er auf eine Kraft, die Corioliskraft zurückführt. Diese ist also der Drehrichtung entgegengesetzt.

Nähert sich der Körper der Drehachse, müsste er entsprechend abgebremst werden. Hier wirkt die Corioliskraft also in Drehrichtung.