Zentraler Grenzwertsatz

Bei den Zentralen Grenzwertsätzen handelt es sich um eine Familie von schwachen Konvergenzaussagen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Allen gemeinsam ist die Aussage, dass die (normierte) Summe einer großen Zahl von unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen annähernd (standard)normalverteilt ist. Dies erklärt auch die Sonderstellung der Normalverteilung.

Die wichtigste und bekannteste Aussage wird auch einfach als Der Zentrale Grenzwertsatz bezeichnet und befasst sich mit unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen, deren Erwartungswert und Varianz endlich sind.

Es existieren verschiedene Verallgemeinerungen, für die eine identische Verteilung keine notwendige Voraussetzung ist. Stattdessen wird dann eine andere Voraussetzung gefordert, die sicherstellt, dass keine der Variablen zu großen Einfluss auf das Ergebnis erhält. Beispiele sind die Lindeberg-Bedingung sowie die Lyapunov-Bedingung. Darüber hinausgehende Verallgemeinerungen gestatten sogar "schwache" Abhängigkeit der Zufallsvariablen.

"Der" Zentrale Grenzwertsatz

Sei X₁,X₂,X₃,... eine Folge von Zufallsvariablen, die auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum alle die gleiche Verteilung D aufweisen und unabhängig sind. Sei weiter angenommen, dass sowohl der Erwartungswert μ als auch die Standardabweichung σ existieren und endlich sind.

Betrachten wir nun die n-te Teilsumme dieser Zufallsvariablen

Der Erwartungswert von S_n ist nμ und die Standardabweichung ist σ n^½.

Die Verteilung von S_n geht dann - gewissermaßen - für n gegen ∞ gegen die Normalverteilung N(nμ,σ²n).

Nun ist eine Verteilung mit unendlicher Standardabweichung und möglicherweise ebenso unendlichem Erwartungswert nicht unbedingt immer von Interesse, weshalb es sich hier anbietet, unsere Zufallsvariablen bzw. deren Summe zu normieren. Dazu setzen wir

Damit konvergiert die Verteilung von Z_n für n gegen ∞ gegen die Standardnormalverteilung N(0,1). Ist Φ(z) die Verteilungsfunktion von N(0,1) bedeutet dies, dass für jedes reelle z

bzw.

gilt. Dabei ist

der Mittelwert.

Existiert das dritte zentrierte Moment E((X₁-μ)³) und ist endlich, dann ist diese Konvergenz sogar gleichmäßig und die Konvergenzgeschwindigkeit ist wenigstens von der Ordnung 1/n^½ (Satz von Berry-Esséen).

Weblinks

• http://ismi.math.uni-frankfurt.de/kersting/lecturenotes/Stochastik.pdf
• • Skript zur Vorlesung Elementare Stochastik (dort ab S.167)
• http://www.statistik.tuwien.ac.at/public/dutt/vorles/inf_bak/node43.html
• • Ein Beispiel zur Verdeutlichung des Zentralen Grenzwertsatzes