Zahlentheorie

Ursprünglich ist die Zahlentheorie der Bereich der reinen Mathematik, der sich mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt. Obwohl viele Fragestellungen der Zahlentheorie selbst für Laien leicht verständlich sind, ist oftmals deren Lösung äußerst kompliziert und etliche Probleme sind bis heute noch ungelöst. Allgemeiner betrachtet die Zahlentheorie auch Probleme die sich auf natürliche Weise aus der Betrachtung der ganzen Zahlen ergeben haben.

Einen Überblick über die zahlentheoretischen Artikel in der Wikipedia gibt es in der Liste zahlentheoretischer Artikel.

Arbeitsgebiete

Je nach Fragestellung und Anwendungsmethoden wird die Zahlentheorie in folgende Arbeitsgebiete unterteilt.

Die elementare Zahlentheorie kommt ohne die Hilfsmittel anderer mathematischer Teilgebiete aus. In diesen Bereich fallen Fragen der Teilbarkeit, der Euklidische Algorithmus zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers, Verfahren zu Faktorisierung von Zahlen in ihre Primfaktorzerlegung, sowie Untersuchungen zu vollkommenen Zahlen und Kongruenzen.

Typische Sätze sind der kleine Satz von Fermat und dessen Verallgemeinerung, der Satz von Euler, sowie der Chinesische Restsatz und das Quadratische Reziprozitätsgesetz.

Des weiteren werden zahlentheoretische Funktionen, wie etwa die Möbiusfunktion und die Eulersche Phi-Funktion sowie Zahlenfolgen, wie beispielsweise Fakultät und Fibonacci-Zahlen untersucht.

Die analytische Zahlentheorie nutzt Elemente der Analysis und der Funktionentheorie. Der Primzahlsatz und die Riemannsche Vermutung sind wichtige Beispiele. Aber auch Problemstellungen der elementaren Zahlentheorie werden oftmals mit analytischen Methoden angegangen, wie z.B. das Waring'sche Problem (Darstellung einer ganzen Zahl als Summe von Quadraten, Kuben etc.), die Vermutung über die Primzahlzwillinge (Gibt es unendlich viele Primzahlpaare mit Abstand 2?) und die Goldbachsche Vermutung (Kann jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden?)

Daneben dienen Methoden der analytischen Zahlentheorie auch dazu, die Transzendenz von Zahlen wie der Kreiszahl π oder der Eulerschen Zahl e nachzuweisen.

Die algebraische Zahlentheorie geht über die ganzen Zahlen hinaus und betrachtet den Körper der algebraischen Zahlen, das sind Wurzeln von Polynomen mit rationalen Koeffizienten. Diese Zahlen enthalten eine den ganzen Zahlen analoge Teilmenge, den Ring der ganzalgebraischen Zahlen. Etliche vertraute Eigenschaften der ganzen Zahlen gelten hier aber nicht mehr (etwa die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung oder die Existenz eines größten gemeinsamen Teilers).

Oftmals stellt es sich als fruchtbar heraus, Fragen modulo aller Primzahlen p zu betrachten. Dieser Vorgang, den man Lokalisation nennt, führt zu den p-adischen Zahlen.

Bekanntester Satz ist der große Fermatsche Satz, der mit Hilfe von Elliptischen Kurven bewiesen wurde.

Im Zentrum der geometrische Zahlentheorie, auch Geometrie der Zahlen genannt, steht der Minkowskische Gitterpunktsatz, eine Aussage über Gitter und konvexe Mengen. Fragen der dichtesten Packung von Kugeln und Fragen über Elliptische Kurven werden ebenfalls behandelt.

Die algorithmische Zahlentheorie ist ein Zweig der Zahlentheorie, der mit dem Aufkommen von Computern auf breites Interesse stieß. Die algorithmische Zahlentheorie beschäftigt sich damit, wie zahlentheoretische Probleme algorithmisch effizient umgesetzt werden können. Wichtigste Fragestellungen sind die Frage, ob eine große Zahl prim ist, die Faktorisierung großer Zahlen und der eng damit verbundenen Frage nach einer effizienten Berechnung des diskreten Logarithmus.

Anwendungen finden sich in der Kryptographie, insbesondere bei der Frage nach der Sicherheit der Datenübertragung im Internet.

Geschichte der Zahlentheorie

Die ersten schriftlichen Nachweise der Zahlentheorie reichen bis ca. 2000 v. Chr. zurück. Die Babylonier kannten in dieser Zeit bereits die Zahlen kleiner einer Million, sowie Quadrate und den Satz des Pythagoras.

Im antiken Griechenland fand die Zahlentheorie dann zu einer neuen Blüte, vor allem durch zwei Leute, nämlich Euklid und Diophantus. Ersterer lebte ca. 200 Jahre vor Christus und ist der Verfasser der "Elemente", einem 13-bändigen Werk. Die Bände 7, 8 und 9 beschäftigen sich dabei mit zahlentheoretischen Fragestellungen, u.a. der Definition der Primzahl, einem Verfahren zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers (Euklidischer Algorithmus) und einem Satz über die Existenz unendlich vieler Primzahlen (Satz von Euklid).

Diophantus lebte vermutlich etwa 300 Jahre nach Christus. Er beschäftigte sich in seinem Werk "Arithmetica" mit den Lösungsmengen von unterschiedlichen algebraischen Gleichungen. Derartige Gleichungen sind uns heute unter dem Namen Diophantsche Gleichungen bekannt.

Im 17. Jahrhundert lebte Pierre de Fermat, welcher durch Diophantus' Werk stark inspiriert wurde.

Wird noch weiter ergänzt...

Wichtige Zahlentheoretiker

• Diophant von Alexandrien
• Euklid
• Paul Erdös
• Leonhard Euler
• Pierre de Fermat
• Carl Friedrich Gauß
• Joseph-Louis Lagrange
• Adrien-Marie Legendre
• Marin Mersenne
• Bernhard Riemann
• Andrew Wiles

Diese Sammlung sollte noch erweitert werden.

Literatur

• The Book of Numbers von John H. Conway und Richard K. Guy, ISBN_0-387-97993-X

siehe auch: Ungelöste Probleme der Mathematik