Zahlensystem

Ein Zahlensystem wird zur Darstellung von Zahlen verwendet.

Eine Zahl wird dabei nach den Regeln des Zahlensystems als Folge von Ziffern dargestellt. Man unterscheidet im wesentlichen zwischen Additionssystemen und Stellenwertsystemen (Positionssystemen).

Additionssysteme

In einem Additionssystem wird eine Zahl als Summe der Werte ihrer Ziffern dargestellt. Ein Beispiel sind die römisch-etruskischen Zahlen mit den Ziffern

   I    1

    V    5

    X    10

    L    50

    C    100

    D    500

    M    1000

 

Die Ziffern werden mit abnehmender Wertigkeit geschrieben und addiert. 2002 wird zum Beispiel als MMII dargestellt. Da solche Zahlen sehr lang werden können, wurde das System später dahingehend modifiziert, dass Ziffern nur dreimal hintereinander auftreten dürfen. Eine kleinere Ziffer die vor einer größeren steht, wird von dieser abgezogen. So wurde VIIII zu IX.

Abweichend von dieser Regel (und dem heute weitverbreiteten Gebrauch) wurde die 4 von den Römern nicht als IV, sondern als IIII geschrieben (auf Uhren ist diese Schreibweise bis heute üblich), da die Zeichenfolge IV als Kürzel für den höchsten Gott Jupiter reserviert war.

Das römische Zahlensystem wurde bis ins 15. Jahrhundert allgemein in Europa verwendet.

Stellenwertsysteme

In einem Stellenwertsystem (Positionssystem) impliziert die Stelle (Position) den Wert der jeweiligen Ziffer. Die 'niederwertigste' Position steht dabei im Allgemeinen rechts.

Ein Stellenwertsystem hat eine Basis b, sowie Ziffern, die von 0 bis b-1 laufen. Die Ziffernposition hat einen Wert, der einer Potenz der Basis entspricht. Für die n-te Position hat man einen Wert von b^n-1.

Das bekannteste und verbreitetste Zahlensystem ist das Dezimalsystem (oder 10er-System) mit Basis 10, und den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9.

In ihm entspricht jeder Ziffernposition eine Zehnerpotenz. Beispielsweise bedeutet die Ziffernfolge 6857, dass

die 7 mit 10⁰ = 1,

die 5 mit 10¹ = 10,

die 8 mit 10² = 100 und

die 6 mit 10³ = 1000

gewichtet wird, so dass man 6000 + 800 + 50 + 7 erhält.

Das Dezimalsystem stammt ursprünglich aus Indien. Der persische Mathematiker Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi verwendete es in seinem Arithmetikbuch, das er im 8. Jahrhundert schrieb. Bereits im 10. Jahrhundert wurde das System in Europa eingeführt, damals noch ohne Null. Durchsetzen konnte es sich jedoch erst im 12. Jahrhundert mit der Übersetzung des genannten Arithmetikbuchs ins Lateinische.

Siehe auch das Vigesimal System mit der Basis 20.

Im 17. Jahrhundert führte der Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz mit der Dyadik das Dualsystem (ein binäres Zahlensystem), also das Stellenwertsystem mit der Basis 2 und den Ziffern 0 und 1, ein. Dieses wird vor allem in der Informationstechnik verwendet, da hiermit Berechnungen einfach und effizient durchzuführen sind. Die Werte der Stellen sind dann

2⁰ = 1

2¹ = 2

2² = 4

2³ = 8

2⁴ = 16

2⁵ = 32

u.s.w.

Demnach entspricht 1011_b = 11

1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 1 * 2⁰

1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 1 * 1 = 11

Da große binäre Zahlen unübersichtlich lang sind, werden zur Darstellung oft Hexadezimalzahlen verwendet, die mit der Basis 16 (und den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F) arbeiten. Hexadezimale Zahlen und binäre Zahlen lassen sich leicht ineinander umwandeln, da 4 Stellen einer binären Zahl gerade einer Stelle einer hexadezimalen Zahl entsprechen. In der Computertechnik werden Binärsystem, Oktalsystem und Hexadezimalsystem verwendet.

Das Duodezimalsystem hat als Basis die 12. Wir finden es in der Rechnung mit Dutzend und Gros und im angelsächsischen Maßsystem (1 Shilling = 12 Pence) (siehe auch Alte Maße und Gewichte). Auch die Stundenzählung hat in diesem System ihren Ursprung.

In vielen polytheistischen Religionen gab es 12 Hauptgötter, die sich z. B. im alten Ägypten in 3 oberste Götter und 3*3 zugeordnete Götter aufteilten. (Die 3 galt als perfekte Zahl; siehe auch Dreifaltigkeit).

Die Babylonier benutzten ein Zahlensystem mit einer Basis von 60 (Sexagesimalsystem; siehe auch Geschichte von Maßen und Gewichten).

Bei einigen Naturvölkern sind auch noch Zahlensysteme zu anderen Basen gefunden worden. Vergleichsweise weit verbreitet ist das System zur Basis 20. Bei diesen Völkern werden in der Regel zum Zählen neben den Fingern auch noch die Füße verwendet. Das analog zu erwartende Zahlensystem zur Basis fünf bei Völkern, die nur eine Hand zum Zählen benutzen wurde aber bisher nirgendwo entdeckt. In Neuseeland war hingegen das System zur Basis 11 üblich und einige Völker benutzen das System zur Basis 18.

Das Unärsystem wird gerne auf Bierdeckeln eingesetzt (die Zahl n dezimal wird durch n Striche dargestellt). Das Unärsystem braucht für die Darstellung großer Zahlen jedoch viel Platz.

Mit der Beschränkung des niedrigsten Exponenten auf 0 kann man nur Ganze Zahlen darstellen. Lässt man auch negative Exponenten zu, kann man auch rationale Zahlen in einem Stellenwertsystem schreiben, wobei der Übergang vom nichtnegativen zum negativen Exponenten durch ein Trennzeichen markiert wird, beispielsweise ein Komma:

Die Ziffern einer rationalen Zahl p/q erhält man durch das Verfahren der schriftlichen Division. Im 10er-System spricht man auch von Dezimalbruch-Entwicklung. Hat q zur Basis b teilerfremde Primfaktoren, bricht die schriftliche Division nicht ab, sondern liefert eine sich wiederholende Folge von Ziffern. Diese wird Periode genannt und durch Überstreichen gekennzeichnet, z. B.

Die Basis b muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl sein. Es wurde nachgewiesen, dass sämtliche komplexen Zahlen mit Betrag größer 1 als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden können. Ebenso sind Zahlensysteme mit gemischten Basen möglich. Beispiele hierfür findet man in Knuth, The Art of Computer Programming.

Eine andere Darstellung für rationale und irrationale Zahlen ist der Kettenbruch, welcher bessere Approximationen liefert als die Stellenwertsysteme.