Natürliche Zahlen sind aus dem Grundbedürfnis der Menschen erwachsen, Dinge zu zählen, d.h. die Anzahl von Elementen zu bestimmen. Unter ihnen versteht man die Menge aller positiven ganzen Zahlen. Zuweilen wird ihnen auch noch die neutrale Zahl 0 zugerechnet, manche Lehrbücher notieren diesen Zahlbereich dann als N0. Addition und Multiplikation sind uneingeschränkt möglich.
Die rationalen Zahlen umfassen die Menge aller Bruchzahlen. Eine Bruchzahl ist der Quotient zweier ganzer Zahlen, wobei die Einschränkung gilt, dass der Divisor (=Nenner) nicht 0 sein darf. Mit der Erweiterung auf die rationalen Zahlen sind alle vier Grundrechenarten inklusive der Division ausführbar.
Die reellen Zahlen bilden eine Synthese aus den rationalen Zahlen und den so genannten irrationalen Zahlen - unendliche, nicht periodische und demzufolge nicht als Bruch darstellbare Zahlen. Das Ziehen der Wurzel bei positivem Radikant kann nun eindeutig durchgeführt werden.
Trotz der Erweiterung auf die reellen Zahlen ist es noch nicht möglich, alle Gleichungen zu lösen. So lässt sich die Gleichung x2 = -1 nach wie vor nicht lösen, da das Quadrat reeller Zahlen stets positiv ist. Um diesem Problem entgegenzuwirken, war eine neuerliche Erweiterung des Zahlenbereichs auf die komplexen Zahlen notwendig. Deren Grundlage ist die Einführung einer imaginären Zahl i, deren Quadrat -1 ergibt (i2 = -1). Komplexe Zahlen bestehen aus einem reellen und einem imaginären Teil.
Beispiele: 15 + 3i, 4-5i
Quaternionen, Hyperkomplexe oder Hamilton-Zahlen (Symbol:
)
Diese Zahlen, die durch die Elemente des Quaternionenrings dargestellt werden, sind die Erweiterung der komplexen Zahlen. Sie bilden in ihrer algebraischen Struktur nur einen Schiefkörper, da sie nicht kommutativ sind. Ihre Darstellung erfolgt in Form von drei Imaginärteilen.
Die Oktaven stellen eine achtdimensionale Erweiterung der reellen Zahlen (ein zweidimensionales Element des Quaternionenrings) dar. Sie sind nicht immer assoziativ (alternatives System), aber der höchstdimensionale Zahlenbereich, in dem reelle Algebra (gekennzeichnet durch eindeutig ausführbare Division) möglich ist, sie bilden eine Divisionsalgebra.
Beispiele: 7 + 8i + 3j - 12k + 4E - 8I - 9J + 12K Wenn wir uns einen Überblick über die Zahlenbereiche von den natürlichen Zahlen bis zu den Oktaven verschaffen, stellen wir folgende allgemeingültige Beziehung zwischen den einzelnen Bereichen fest:
Sedenionen (Symbol: S)
Die Sedenionen sind ein Zahlenbereich mit 16 Dimensionen. Sie fallen jedoch aus dem normalen Rahmen, da sie keine reelle Algebra mehr zulassen. Es gelten weder Kommutativ- noch Assoziativgesetz, statt dessen besitzen sie Nullteiler, Elemente, die bei Multiplikation Null ergeben können.
Es gibt gute Gründe, die mathematischen Objekte jenseits von
nicht als "Zahlen" zu bezeichnen:
(1) Die erwähnten Systeme
H, O und S sind keine Körper. Im gewöhnlichen Rechnen haben wir uns aber angewöhnt, die Rechenregeln des Körpers zu verwenden und fordern. Außerdem gibt es für die Körper der rationalen Zahlen auch Körpererweiterungen in anderen Richtungen als in die reellen und komplexen Zahlen, zum Beispiel in die Körper der p-adischen Zahlen und deren algebraische Ergänzungen.
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