Wurzelsystem

Wurzelsysteme dienen als Hilfsmittel zur Klassifikation der endlichen Spiegelungsgruppen und der endlichdimensionalen halbeinfachen komplexen Lie-Algebren.

Definitionen

Eine Teilmenge R eines Vektorraums V über einem Körper der Charakteristik 0 heißt Wurzelsystem, falls sie die drei folgenden Bedingungen erfüllt:

• 1. R ist endlich und erzeugt V
• 2. Zu jedem α aus R ist -α das einzige in R enthaltene Vielfache von α
• 3. Zu jedem α aus R gibt es eine Spiegelung s: V→V, die R in sich abbildet, so dass s(α)=-α gilt und s(β)-β für alle β aus R ein ganzzahliges Vielfaches von α ist.

Eine Teilmenge Π eines Wurzelsystems R heißt Basis, falls man jedes Element von R als ganzzahlige Linearkombination von Elementen von Π mit ausschließlich positiven oder ausschließlich negativen Koeffizienten darstellen kann.

Man kann zeigen, dass die Spiegelung s aus 3. für jedes α∈R eindeutig ist. Die Linearform

für die

gilt, heißt Kowurzel zu α

Klassifikation

Bis auf Isomorphismus ist sämtliche Information über ein Wurzelsystem in seiner Cartan-Matrix

enthalten. Man kann dies auch in Form eines Dynkin-Diagramms darstellen. Dazu setzt man für jedes Element einer Basis einen Punkt und verbindet die Punkte α und β durch Striche, deren Anzahl durch

bestimmt wird. Sind dies mehr als einer, so setzt man zusätzlich einen Pfeil in Richtung der kürzeren Wurzel. Als Zusammenhangskomponenten eines Dynkin-Diagramms können nur auftreten: