Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierende (auch Winkelsymmetrale genannt) ist ein Begriff aus der Geometrie. Eine Winkelhalbierende eines Winkels ist die Gerade, die durch den Scheitelpunkt des Winkels läuft und den Winkel in zwei gleiche Teile teilt.

Konstruktion:

Sie kann mit einem Zirkel und einem Lineal konstruiert werden. Dabei wird um den Scheitelpunkt ein Kreis mit beliebigem Radius gezeichnet. An den Schnittpunkten mit den Schenkeln des Winkels wird der Zirkel erneut angesetzt. Dann zeichnet man jeweils einen Kreis mit gleichem Radius. Die Schnittpunkte dieser zwei Kreise liegen auf der Winkelhalbierenden.

Bisher haben wir von der Winkelhalbierenden eines Winkels gesprochen, weil wir einen Winkel hatten, der (wie immer) von zwei Halbgeraden begrenzt wird. Wenn wir aber zwei Geraden vorliegen haben, die sich in einem Punkt schneiden, dann haben wir vier Winkel und hätten damit eigentlich vier mögliche Winkelhalbierenden. Doch die Winkelhalbierenden zweier Scheitelwinkel fallen zusammen; also bleiben nur zwei Winkelhalbierenden übrig. Diese zwei Winkelhalbierenden - die übrigens zueinander orthogonal sind - nennt man die Winkelhalbierenden der zwei Geraden.

Die Winkelhalbierenden von zwei Geraden sind Symmetrieachsen der Figur, die aus den zwei Geraden besteht. Das heißt, zwei Geraden sind immer zueinander symmetrisch bezüglich jeder von ihren beiden Winkelhalbierenden. Deshalb heißen die letzteren auch Winkelsymmetralen.

Die Vereinigung der beiden Winkelhalbierenden von zwei Geraden ist die Menge aller Punkte, die von den beiden Geraden den gleichen Abstand haben, oder, anders formuliert, die Menge der Mittelpunkte aller Kreise, die die beiden Geraden berühren.

Wenn wir wieder zu dem Fall eines Winkels zurückkommen, der von zwei Schenkeln (Halbgeraden) begrenzt wird, und nun diese Schenkel zu Geraden verlängern, dann bekommen wir zwei Geraden mit zwei Winkelhalbierenden. Die eine davon ist die Winkelhalbierende des ursprünglichen Winkels; die andere ist die Winkelhalbierende seines Nebenwinkels; sie heißt Außenwinkelhalbierende des ursprünglichen Winkels.

Winkelhalbierende im Dreieck

Wenn in der Dreieckslehre von Winkelhalbierenden die Rede ist, bezieht sich dieser Begriff meist auf die Innenwinkel, seltener auf die Außenwinkel. Für diese Winkelhalbierenden gelten unter anderem folgende Sätze:

• Die drei Winkelhalbierenden (der Innenwinkel) eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt des Inkreises (siehe auch: Ausgezeichnete Punkte im Dreieck).

• Jede Winkelhalbierende (eines Innenwinkels) im Dreieck teilt die gegenüber liegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten.

• Die Halbierenden eines Innenwinkels und der zu den beiden anderen Innenwinkeln gehörenden Außenwinkel eines Dreiecks schneiden sich jeweils in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt eines Ankreises.

Winkelhalbierende im Koordinatensystem

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem definiert man die "zwei Winkelhalbierenden" wie folgt:

Als 1. Winkelhalbierende bezeichnet man den Graph der Funktion f(x)=x. Dieser Graph ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung 1.

Als 2. Winkelhalbierende bezeichnet man den Graph der Funktion f(x)=-x. Dieser Graph ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung -1.

Die 1. und 2. Winkelhalbierende sind, geometrisch gesprochen, die beiden Winkelhalbierenden der Koordinatenachsen.

Weblinks

• http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/var/PD1.html
• • gehe dann zu Aufgabe D.7: Innen- und Außenwinkelhalbierende eines Winkels mit Abbildung
• http://www.math.okstate.edu/~rpsc/dict/AngBisect.htm
• • Englischer Halbier Humor