Wieferich-Primzahl

Eine Wieferich-Primzahl ist eine spezielle Primzahl p mit der Eigenschaft 2^p-1 - 1 ist teilbar durch p².

Alternativ kann man dies auch mit der modulo-Funktion schreiben als 2^p-1 = 1 (mod p²).

Bekannte Wieferich-Primzahlen

Man kennt bisher nur 2 Wieferich-Primzahlen, nämlich 1093 (gefunden im Jahr 1913 von W.Meissner) und 3511 (gefunden im Jahr 1922 von N.G.W.H.Beeger). Weitere Wieferich-Primzahlen sind nicht bekannt. Mit Computerhilfe hat man bis Juni 2003 alle Zahlen bis 1,25 · 10¹⁵ untersucht ( http://www.cs.dal.ca/~knauer/wieferich/ ).

Namensgebung

Benannt sind diese Primzahlen nach dem deutschen Mathematiker Arthur Wieferich.

Verwandtschaft mit Fermats letztem Theorem

Wieferich beschäftigte sich mit Fermats letztem Theorem. 1909 veröffentlichte er als Ergebnis den folgenden Satz:

1910 zeigte der Mathematiker Mirimanoff, dass dieser Satz auch für a = 3 gilt.

Eigenschaften von Wieferich-Primzahlen

• Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele Wieferich-Primzahlen gibt. Man vermutet, dass dies nicht der Fall ist.

• Ein Primfaktor p der Mersenne-Zahl M_q = 2^q - 1 ist eine Wieferich-Primzahl genau dann, wenn p² teilbar ist durch 2^q - 1. Daraus folgt sofort, dass eine Mersenne-Primzahl niemals eine Wieferich-Primzahl sein kann.

• Für eine Wieferich-Primzahl p gilt: 2^p2 = 2 (mod p²).

• Aus 2ⁿ = 1 (mod p) folgt 2ⁿ = 1 (mod p²)

Literatur

• A. Wieferich, "Zum letzten Fermat'schen Theorem," Journal für Reine Angewandte Math., 136 (1909) 293-302

• J. H. Silverman, "Wieferich's criterion and the abc-conjecture," Journal Number Theory, 30:2 (1988) 226-237.