Eine Zahl wird vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl oder ideale Zahl) genannt, wenn sie die Summe ihrer (positiven) echten Teiler (d.h. aller Teiler außer sich selbst) ist.
Ein Beispiel für eine vollkommene Zahl ist die 6. Ihre echten Teiler sind 1, 2 und 3. Es ist 1 + 2 + 3 = 6. Die 6 ist zudem die kleinste vollkommene Zahl.
Bereits Euklid stellte fest, dass sich die ersten vier vollkommenen Zahlen aus der Formel 2n − 1(2n − 1) berechnen lassen:
Euklid bewies, dass diese Formel immer dann eine vollkommene Zahl liefert, wenn 2n-1 eine Primzahl ist, dies sind die so genannten Mersenne-Primzahlen. Fast 2000 Jahre später konnte Leonhard Euler beweisen, dass auf diese Weise alle geraden vollkommenen Zahlen erzeugt werden.
Es ist unbekannt, ob es auch ungerade vollkommene Zahlen gibt. Man weiß jedoch, dass eine solche Zahl, wenn es sie denn gäbe, größer als 10300 sein und mindestens 8 (bzw. 11 wenn die Zahl nicht durch 3 teilbar ist) verschiedene Primteiler haben müsste.
Abundante Zahlen sind solche Zahlen, bei denen die Teilersumme σ* größer als die Zahl selber ist und Defiziente Zahlen sind solche, bei denen die Teilersumme σ* kleiner als die Zahl selber ist!
Mehrfach vollkommene Zahlen
Eine natürliche Zahl n heißt mehrfach vollkommen, wenn die Summe der echten Teiler ein Vielfaches von n ist, also
σ*(n) = kn wobei k > 0 eine natürliche Zahl ist.
Beispiel: Die Zahl 120 ist dreifach vollkommen, denn die Summe ihrer Teiler ist 360.
Pseudovollkommene Zahlen
Eine natürliche Zahl n heißt pseudovollkommen, wenn sie sich als Summe einiger verschiedener echter Teiler darstellen lässt.
Beispiel: 20 = 1 + 4 + 5 + 10 ist pseudovollkommen, weil der Teiler 2 in der Summendarstellung fehlt.
Merkwürdige Zahlen
Eine natürliche Zahl n heißt merkwürdig, wenn sie nicht pseudovollkommen und auch nicht vollkommen ist. D.h. sie kann nicht als Summe einiger oder aller verschiedener Teiler dargestellt werden.
Beispiel: Die Zahl 70 ist merkwürdig, denn sie kann nicht als Summe aus der Teilermenge 1,2,5,7,10,14,35 gebildet werden.
Befreundete Zahlen
Verwandt mit den vollkommenen Zahlen sind die befreundeten Zahlen bei denen die Summe der Teiler der einen Zahl jeweils die andere Zahl ergibt.
Gesellige Zahlen
Jedes einzelne befreundete Zahlenpaar besteht genau aus zwei Zahlen. Werden mehr als zwei Zahlen benötigt, um wieder zur Ausgangszahl zurückzukommen, spricht man von geselligen Zahlen (engl. Sociable Numbers). Eine solche Kette besteht somit aus mindestens drei Gliedern.
Beispiel für eine Kette der Ordnung 5:
12.496
14.288
15.472
14.536
14.264
Beispiel für eine Kette der Ordnung 13:
1.264.460
2.115.324
2.784.580
4.938.136
7.169.104
18.048.976
18.656.380
46.722.700
81.128.632
174.277.820
209.524.210
330.003.580
498.215.416
Weitere Eigenschaften der vollkommenen Zahlen
Summe der reziproken Teiler
Die Summe der reziproken Teiler ki einer vollkommenen Zahl n ergibt 2.
Darstellung von Eaton (1995,1996)
Jede gerade vollkommene Zahl n > 6 hat die Darstellung
mit
Umgekehrt erhält man nicht zu jedem j eine vollkommene Zahl.
Beispiel:
j=0 ergibt k=2 ergibt n=28 vollkommen
j=1 ergibt k=10 ergibt n=496 vollkommen
j=2 ergibt k=18 ergibt n=1540 nicht vollkommen
Summe der ersten natürlichen Zahlen
Jede gerade vollkommene Zahl n lässt sich mit einer geeigneten natürlichen Zahl k darstellen als
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