Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Figur an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um 7 Einheiten nach rechts und 3 nach oben verschoben werden. Er bewegt sich dabei längs eines Pfeils
/vec v. Da diese Pfeile in Länge und Richtung alle übereinstimmen, fasst man sie zu einer Klasse (Vektorklasse) zusammen, die man ebenfalls kurz mit /vec v bezeichnet. Jeder Pfeil ist ein Repräsentant dieser Klasse. Man beschreibt die Klasse durch die Verschiebung, die ihre Pfeile bewirken, im Beispiel:
,
im dreidimensionalen Raum entsprechend mit 3 Koordinaten, siehe weiter unten.
Allgemeiner ist in der linearen Algebra ein Vektor als Element eines Vektorraumes definiert. Dies ist eine viel umfassendere Definition, die neben den "herkömmlichen", geometrischen Vektoren verschiedenste mathematische Objekte (Zahlen, Folgen, Funktionen und Transformationen) beinhaltet. Demnach ist auch jeder Tensor ein Vektor, obwohl man per Konvention zweidimensionale Vektoren als Matrix und mehrdimensionale Vektoren als Tensoren bezeichnet.
In der Differentialgeometrie, der Physik und der Technik bezieht sich der Ausdruck Vektor normalerweise auf einen geometrischen Vektor des euklidischen Raumes, der durch einen Betrag und eine Richtung geben ist. Beispiele sind Geschwindigkeit, Impuls, Kraft, Moment und Beschleunigung. Nach dieser Definition ist ein Vektor ein Tensor erster Stufe. Alle folgenden Betrachtungen beziehen sich auf solche Vektoren, allgemeine Eigenschaften finden sich unter Vektorraum
Vektoren sind nomalerweise ungebunden, das heißt, sie haben keinen fixen Ausgangspunkt. Ein Vektor kann daher als die Menge aller "Pfeile", die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind, angesehen werden.
Im Unterschied dazu haben gebundene Vektoren einen Ausgangspunkt. Sie können zum Beispiel, als so genannte Ortsvektoren, die Position eines Punktes im Raum angeben. Kräfte, die auf Starrkörper wirken, sind teilweise gebunden. Sie wirken entlang einer bestimmten Geraden. Es ist egal, an welchem Punkt der Geraden sie angreifen. Man nennt sie "linienflüchtige" Vektoren.
Variablen, die für Vektoren stehen, werden normalerweise mit einem Pfeil gekennzeichnet (
) oder fett geschrieben (a). (Anmerkung: In diesem Artikel wird durchgängig die Pfeilschreibweise verwendet, in anderen Wikipedia-Artikeln kommt aber auch der Fettdruck vor.) Ist der Betrag, also die Länge, des Vektors gemeint, wird der Vektor mit zwei senkrechten Betragsstrichen eingeklammert:
Grafisch werden Vektoren normalerweise als Pfeile dargestellt:
A wird in diesem Fall als Schaft, Ausgangs- oder Startpunkt und B als Spitze oder Endpunkt des Vektors bezeichnet. Die Richtung des Pfeiles gibt die Richtung des Vektors an und die Länge seinen Betrag. Dieser Vektor kann auch als
bezeichnet werden und sein Betrag als
bzw.
._ Dabei ist zu beachten, dass der Vektor nicht an die Punkte A und B gebunden ist, sondern, dass diese ihn nur definieren.
Als Beispiel für diesen Artikel soll immer der dreidimensionale Vektorraum R³ mit einem kartesischen Koordinatensystem dienen. Sind
,_
und
die Einheitsvektoren in Richtung der x-, y- bzw. z-Achse, kann jeder Vektor als
angeschrieben werden. Die reellen Zahlena1, a2 und a3 sind eindeutig durch
festgelegt. Oft schreibt man Vektoren auch kurz als 3x1- oder 1x3-Matrix:
Mit dieser Schreibweise ist zwar die Wahl des Koordinatensystems nicht festgehalten, falls nicht anderes angegeben ist aber immer das kartesische Koordinatensystem gemeint, da es für viele Rechnungen am einfachsten ist.
Man kann dann die Koordinaten eines Vektor auch so darstellen:
Aus dem Satz von Pythagoras folgt, dass der Betrag des Vektors folgendermaßen berechnet werden kann:
Die Vektoraddition kann man graphisch interpretieren indem man den Schaft des zweiten Vektors an die Spitze des ersten Vektors anschließt. Der Pfeil vom Schaft des ersten Vektors bis zur Spitze des zweiten Vektors repräsentiert den Ergebnisvektor:
Die geometrische Interpretation der Subtraktion von zwei Vektoren ist: Zwei Vektoren werden subtrahiert, indem man den Schaft des zweiten Vektors an den Schaft des ersten Vektors anschließt. Der Pfeil des Ergebnisvektors beginnt in der Spitze des zweiten Vektors und endet in der Spitze des ersten Vektors. Alternativ kann man auch die zwei Spitzen zusammenschließen und die Schäfte verbinden.
Vektoren können mit reellen Zahlen, oft Skalare genannt, um sie von Vektoren unterscheiden zu können, multipliziert werden:
Die Länge des resultierenden Vektors ist daher
._ Wenn der Skalar negativ ist, ändert sich zusätzlich die Richtung um 180°. Die folgende Grafik illustriert zwei Beispiele (Multiplikation mit -1 und 2):
Das Skalarprodukt (oder Inneres Produkt) zweier Vektoren
und /vec b, so genannt weil das Ergebnis ein Skalar ist, wird notiert als
und ist definiert als
wobei θ der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist. (siehe auch Cosinus). Im Kartesischen Koordinatensystem berechnet es sich als
Geometrisch bedeutet das Skalarprodukt eine Multiplikation der Länge des ersten Vektors mit der Länge der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten Vektor. Daher ist das Skalarprodukt zweier normal aufeinander stehender Vektoren immer 0. Diese Operation wird oft in der Physik gebraucht, zum Beispiel um die Arbeit zu berechnen, wenn Kraft und Weg nicht in der selben Richtung verlaufen.
Das Kreuzprodukt (auch vektorielles Produkt, äußeres Produkt oder Vektorprodukt) (notiert als
) zweier Vektoren in einem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein bestimmter Vektor, der normal (senkrecht im Sinne des Skalarprodukts) auf der von
und /vec b aufgespannten Ebene steht.
Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum R3 ist das Kreuzprodukt von a und b definiert als
wobei θ der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel (siehe auch Sinus), und
der zu beiden Vektoren normale Einheitsvektor ist.
Diese Definition hat allerdings das Problem, dass es zwei Vektoren gibt, die normal auf
und /vec b stehen. Den korrekten Vektor bestimmt die Orientierung des Vektorraumes. Das heutzutage verwendete Koordinatensystem ist "rechtshändig" (ein so genanntes "Rechts-System"), d.h. sowohl die Koordinatenachsen (x, y und z) als auch die Vektoren
,_ /vec b und
verhalten sich wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand, wenn man sie im rechten Winkel zueinander von der Handfläche wegstreckt (daher oft Rechte-Hand-Regel genannt).
Graphisch lässt sich das Kreuzprodukt darstellen als:
Im Kartesischen Koordinatensystem kann das Kreuzprodukt berechnet werden als:
Der Betrag von
entspricht der Fläche des von
und /vec b aufgespannten Parallelogramms.
Für das Kreuzprodukt gilt nicht das Kommutativgesetz sondern das sogenannte Anti-Kommutativgesetz:
Es gibt eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts auf n-dimensionale Räume, die allerdings nicht mehr nur zwei Vektoren verknüpfen, sondern n-1 Vektoren. Das Kreuzprodukt dieser Vektoren ist ein Vektor, der auf allen senkrecht steht und dessen Länge und Richtungssinn von den Längen und der Reihenfolge der Argumente abhängt. Siehe dazu: Kreuzprodukt.
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