Universelle Algebra

Universelle Algebra - Abstrakte Algebra Matthy 18:35, 9. Aug 2004 (CEST)

Die universelle Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, in dem Eigenschaften untersucht werden, die allen algebraischen Strukturen gemeinsam sind. Ergebnisse der abstrakten Algebra werden hier verallgemeinert.

Definition der Algebra

In der universellen Algebra ist eine Algebra eine Menge A zusammen mit einer Menge von Verknüpfungen auf A. Eine n-stellige Verknüpfung auf A ist eine Funktion f: Aⁿ -> A, die n Elemente von A nimmt und ein Element von A liefert. Eine 0-stellige Verknüpfung ist einfach ein Element von A, eine Konstante, oft durch einen Buchstaben oder eine Zahl bezeichnet (e, 0, 1). Eine einstellige Verknüpfung ist eine Funktion von A nach A, oft durch ein Symbol vor oder hinter dem Argument bezeichnet (-n, n^-1, n!). Eine zweistellige Verknüpfung wird oft durch ein Symbol zwischen den beiden Argumenten bezeichnet (a+b, a*b, f o g). Verknüpfungen höherer Stelligkeit schreibt man meist als Funktion (f(x, y, z)).

Nachdem die Verknüpfungen angegeben sind, spezifiziert man die Natur der Algebra durch Axiome, die in der universellen Algebra sämtlich in Form von Gleichungen geschrieben werden müssen. Ein Beispiel ist das Assoziativgesetz für eine zweistellige Verknüpfung, x * (y * z) = (x * y) * z. Das Axiom soll dann für alle Elemente x, y, z von A gelten.

Beispiele

Gruppen

Um zu sehen, wie das funktioniert, betrachten wir die Definition einer Gruppe. Üblicherweise ist eine Gruppe definiert als eine Menge A mit einer zweistelligen Verknüpfung *, wobei die folgenden drei Axiome erfüllt sind:

• x * (y * z) = (x * y) * z (Assoziativität)
• es gibt ein e so dass e * x = x = x * e (neutrales Element)
• für jedes x gibt es ein i so dass x * i = e = i * x (inverses Element)

(Manchmal findet man noch die Forderung der "Abgeschlossenheit", dass x * y wieder in A liegen soll, aber aus der Sicht eines Algebraikers beinhaltet der Begriff der "zweistelligen Verknüpfung" diese Eigenschaft bereits.)

In der universellen Algebra ist diese Definition nicht gültig, denn die Axiome werden nicht allein durch Gleichungen ausgedrückt, sondern enthalten den Quantor "es gibt..._ so dass", und das ist in der universellen Algebra nicht erlaubt. Die Lösung ist hier nicht schwierig: Wir fügen eine 0-stellige Verknüpfung e und eine einstellige Verknüpfung "^-1" hinzu und schreiben die Axiome so:

• x * (y * z) = (x * y) * z
• e * x = x = x * e
• x * (x^-1) = e = (x^-1) * x

Es ist nun wichtig zu prüfen, ob wir damit tatsächlich die Definition einer Gruppe erreicht haben. Es könnte ja sein, dass wir noch mehr Informationen brauchen, um aus einer dieser "Universal-Algebra-Gruppen" eine "gewöhnliche" Gruppe zu machen oder umgekehrt. Nichts in der Definition der Gruppe besagt zum Beispiel, dass das neutrale Element eindeutig ist, und wenn es ein zweites neutrales Element e' gäbe, welches der beiden sollte dann der Wert der 0-stelligen Verknüpfung e sein? Dies ist jedoch hier kein Problem, da das neutrale Element stets eindeutig bestimmt ist, und dasselbe gilt auch für das inverse Element jedes x. Also stimmen die beiden Definitionen einer Gruppe überein.

Homomorphismen

Nachdem wir die Verknüpfungen und Axiome unserer Algebra definiert haben, definieren wir nun Homomorphismen zwischen zwei Algebren A und B vom selben Typ (sie haben also Verknüpfungen, die dieselben Axiome erfüllen). Ein Homomorphismus h: A -> B ist eine Funktion, die für jede Verknüpfung f (mit der Stelligkeit n) diese Bedingung erfüllt:

h(f_A(x₁,..._, x_n)) = f_B(h(x₁),..._, h(x_n))

(Hier stehen Indices an der Verknüpfung f, um zu unterscheiden, welche der beiden Versionen gemeint ist. In der Praxis ergibt sich das aus dem Kontext, so dass diese Unterscheidung weggelassen wird.) Ist zum Beispiel e eine Konstante (0-stellige Verknüpfung), dann ist h(e_A) = e_B. Ist ~ eine einstellige Verknüpfung, dann ist h(~x) = ~h(x). Ist * eine binäre Verknüpfung, dann ist h(x * y) = h(x) * h(y).

Ein bijektiver Homomorphismus, dessen Umkehrfunktion ein Homomorphismus ist, heißt Isomorphismus.

Siehe auch: Homomorphiesatz.

Ausblick

Dieser Artikel reicht nicht aus, die Vielfalt der Ergebnisse der universellen Algebra zu zeigen. Die Motivation der universellen Algebra ist die große Anzahl verschiedener Algebren (im Sinne der universellen Algebra), wie z.B. Gruppen, Monoide, Verbände, die aber alle ähnliche Theoreme zulassen. Vor der Entwicklung der universellen Algebra wurden viele Theoreme (vor allen die Isomorphiesätze) für jede Struktur einzeln bewiesen, aber nun kann man sie ein einziges mal beweisen für alle Arten algebraischer Strukturen.

Eine noch allgemeinere Idee liegt der Kategorientheorie zugrunde. Sie ist auf viele Situationen anwendbar, die in universeller Algebra nicht darstellbar sind, und liefert so weiter reichende Aussagen. Umgekehrt lassen sich manche Aussagen der universellen Algebra nicht auf alle Kategorien übertragen. So sind also beide Teilgebiete nützlich. Die Verbindung zwischen ihnen ist diese: Für vorgebenene Verknüpfungen und Axiome bilden die zugehörigen Algebren und Homomorphismen eine Kategorie.