Ungleichung

In der Mathematik ist eine Ungleichung eine Aussage über die relative Größe oder Ordnung zweier Objekte.

Die Schreibweise a < b bedeutet a ist kleiner als b und a > b bedeutet a ist größer als b. Weiter bedeutet a ≤ b, dass a kleiner oder gleich b ist und a ≥ b, dass a größer oder gleich b ist.

Wenn die Aussage einer Ungleichung für alle Werte, für die sie definiert ist, die gleiche ist (z.B. n > -1 für n aus N), heißt die Ungleichung "absolut" oder "unbedingt". Gilt die Ungleichung nur für einige Werte der verwendeten Variablen, wird aber für andere Werte umgekehrt oder ist ungültig, so heißt sie "bedingt".

Die Richtung einer Ungleichung ändert sich nicht, wenn sie auf beiden Seiten gleich viel verkleinert oder vergrößert wird, oder wenn beide Seiten mit der gleichen positiven Zahl multipliziert oder dividiert werden. Multipliziert oder dividiert man hingegen mit einer negativen Zahl, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

Eigenschaften von Ungleichungen

Ungleichungen können "umgedreht" werden, d.h. a>b gilt genau dann, wenn b<a gilt, und a≥b gilt genau dann, wenn b≤a gilt

Trichotomiegesetz

Für zwei reelle Zahlen a und b gilt genau eine der folgenden Beziehungen:

• a < b
• a = b
• a > b

Addition und Subtraktion

Für beliebige reelle Zahlen a, b und c gilt:

• Wenn a > b; dann ist a + c > b + c und a - c > b - c
• Wenn a < b; dann ist a + c < b + c und a - c < b - c

Multiplikation und Division

Für beliebige reelle Zahlen a, b und c gilt (c ≠ 0):

• Wenn c positiv ist und a > b; dann ist a · c > b · c und a / c > b / c
• Wenn c positiv ist und a < b; dann ist a · c < b · c und a / c < b / c
• Wenn c negativ ist und a > b; dann ist a · c < b · c und a / c < b / c
• Wenn c neagtiv ist und a < b; dann ist a · c > b · c und a / c > b / c

Bekannte Ungleichungen

In der Mathematik werden oft Ungleichungen benutzt um Größen, die nicht, oder nur schwer, genau berechnet werden können, einzugrenzen. Folgende Ungleichungen werden häufig benutzt:

Anm: Bitte richtig eindeutschen wo ich nicht richtig übersetzt habe.

• Azumas Ungleichung
• Bonferroniungleichungen
• Cauchy-Schwarz-Ungleichung
• Dreiecksungleichung
• Hoeffding-Ungleichung
• Hölder-Ungleichung
• Jensensche Ungleichung
• Markov-Ungleichung
• Minkowski-Ungleichung
• Tschebyscheff-Ungleichung

Weitere Ungleichungen finden sich unter Liste der Ungleichungen

siehe auch

Ordnungsrelation, Gleichheit, Ungleichheit, Lösen von Ungleichungen