Unendlichkeit

Die Unendlichkeit ist ein der direkten menschlichen Erfahrung fremdes Phänomen.

Sie kann nur abstrakt in der Vorstellung entwickelt werden und wird auf Objekte, die keine räumlichen oder zeitlichen Grenzen besitzen, angewendet.

Beispielsweise ist ein unendlich ausgedehnter Weltraum vorstellbar; auch kann man sich eine Zeit ohne Ende denken (siehe Ewig). Andererseits wird die Vorstellbarkeit der Unendlichkeit in der Natur auch bezweifelt, siehe hierzu auch Unendlichkeit (Philosophie).

Unendliche Ausdehnungen der physikalischen Welt werden durch das aus der Mathematik stammende Symbol ∞, eine auf der Seite liegende 8, dargestellt.

Neben der unendlichen Ausdehnung zu immer größeren Größen wird auch die unendliche Teilbarkeit, das unendlich Feine betrachtet, dessen Grenze Null ist, Null aber nicht erreicht. Aus der Negation des unendlich Feinen und deren Paradoxien ergab sich die ursprüngliche griechische »Atomtheorie« des »Unteilbaren«.

Unendlichkeit in der Mathematik

Die Mathematik selbst kennt den Begriff des Unendlichen in verschiedenen Teildisziplinen.

Diese unterschiedlichen »Unendlichkeiten« haben dann jeweils ihre eigenen Eigenschaften, und die Unendlich-Begriffe sind nicht austauschbar.

Mengenlehre

Die Mengenlehre kennt die Mächtigkeit einer Menge, welche bei endlichen Mengen genau die Anzahl der Elemente angibt.

Die einfache, der Vorstellung relativ leicht zugängliche Menge der natürlichen Zahlen, ist jedoch nicht mehr endlich.

Das lässt sich leicht durch einen »Widerspruchsbeweis« einsehen: »Man nehme an, es gäbe endlich viele natürliche Zahlen. Diese Zahl sei k. Da es aber eine Zahl k+1 gibt, war die Annahme falsch. Daher gibt es unendlich viele natürliche Zahlen.«

Mengen mit unendlich vielen Elementen haben Eigenschaften, die der direkten Anschauung zuwiderlaufen.

Beispielsweise enthält die Menge der natürlichen Zahlen die Teilmenge der geraden natürlichen Zahlen.

Zwischen dieser Teilmenge und der Menge der natürlichen Zahlen existiert eine Bijektion, das ist eine Abbildung, die jedem Element der einen Menge genau ein Element der anderen Menge zuordnet, und umgekehrt. (Siehe dazu auch Hilberts Hotel.)

Wenn zwei Mengen durch eine Bijektion aufeinander abgebildet werden können, besitzen sie die gleiche Mächtigkeit.

Die Menge der natürlichen Zahlen besitzt also eine Teilmenge, die gleichmächtig zur Menge selbst ist.

Eine derartige Eigenschaft kann benutzt werden, um unendlich große Mengen zu erkennen.

Man sagt, dass eine Menge unendlich groß ist, wenn sie gleichmächtig zu einer ihrer echten Teilmengen ist.

Eine Menge, die gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen ist, nennt man auch abzählbar. Das bedeutet, dass die natürlichen Zahlen ausreichen, um jedes Element der Menge zu nummerieren.

Diese Begrifflichkeit des Unendlichen wird noch interessanter, da es verschiedene Mengen gibt, die unendlich viele Elemente besitzen, die aber nicht bijektiv aufeinander abgebildet werden können.

Diese unterschiedlichen Mächtigkeiten werden mit dem Symbol ℵ (Aleph, dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets), und einem (anfangs ganzzahligen) Index bezeichnet (die Indizes durchlaufen die Ordinalzahlen).

Die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen (die kleinste Unendlichkeit) ist in dieser Schreibweise

ℵ₀.

Die Reellen Zahlen bilden eine unendliche Menge, die mächtiger als die Menge der natürlichen Zahlen ist.

Unter der Voraussetzung, dass die Kontinuumshypothese wahr ist, ist die Mächtigkeit der reellen Zahlen

ℵ₁.

Weitere Unendlichkeiten lassen sich mittels der Potenzmenge (Menge aller Teilmengen) konstruieren, wobei aus einer Menge mit Mächtigkeit

ℵ_n die Potenzmenge mit Mächtigkeit

ℵ_n+1 entsteht.

Dieser Vorgang kann (formal) immer weiter geführt werden, so dass es unendlich viele Unendlichkeiten gibt (ein wahrlich die Anschauung strapazierendes Konzept).

Es gibt in der Mengenlehre mehrere »Zahlensysteme«, die unendlich große Zahlen enthalten. Die bekanntesten sind Ordinalzahlen, Kardinalzahlen, Hyperreelle Zahlen und Surreale Zahlen.

Man kann die Unendlichkeit auch nach der der Art der Herkunft definieren:

• potenziell unendlich: man nimmt an, dass unendlich die Möglichkeit ist, immer noch weiter zu gehen. Beispiel: Man kann zu jeder natürlichen Zahl einen Nachfolger angeben.
• aktual unendlich: man nimmt an, dass eine unendliche Menge tatsächlich unendlich groß ist. Beispiel: Man betrachtet die Menge aller natürlichen Zahlen.

Analysis

Das Symbol ∞ wird in der Analysis verwendet, um anzuzeigen, dass eine Folge reeller Zahlen über alle Grenzen wächst. Siehe dazu Konvergenz (Mathematik) und Grenzwert.

Es wurde vom englischen Mathematiker John Wallis 1655 als Zeichen für eine unendliche Größe eingeführt. Ursprünglich wurde ∞ im alten Rom als Zeichen für die Zahl 1000 verwendet. Anderen Deutungen zufolge entstand es aus dem kleinen griechischen Buchstaben für Omega.

projektive Geometrie

In der projektiven Geometrie gilt, dass Parallelen sich in einem »unendlich fernen Punkt« treffen. In der Perspektivenkonstruktion fällt dieser mit dem Fluchtpunkt der Geraden zusammen.

Siehe auch: Infinitesimal - Limes - Null (Zahl) - Augustinus

Zitate

Albert Einstein: »Zwei Dinge sind unendlich: Das Universum und die menschliche Dummheit - Beim Universum bin ich mir noch nicht ganz sicher.«

Referenzen

Literatur

• Amir D. Aczel: Die Natur der Unendlichkeit. Mathematik, Kabbala und das Geheimnis des Aleph. rororo Taschenbücher, 2002 ISBN_3-499-61358-1
• Herbert Beckert: Zur Erkenntnis des Unendlichen. Hirzel, Stuttgart 2001 ISBN_3-7776-1136-0 (Abhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig)
• Albrecht Beutelspacher: Pasta all'infinito. Meine italienische Reise in die Mathematik. dtv Taschenbücher, 2001 ISBN_3-423-33069-4
• Rudolf Taschner: Das Unendliche. Mathematiker ringen um einen Begriff. Springer Verlag, 1995 ISBN_3-540-59093-5

Videos

• Real Video: alpha centauri: Was ist Unendlichkeit?

Weblinks

• Projekt Unendlichkeit