Unendliche Reihe

In der Mathematik ist eine unendliche Reihe s eine unendliche Folge, deren Glieder aus den Summen der ersten Glieder (so genannten Partialsummen) einer anderen Folge a bestehen; genauer gilt die Beziehung:

(Die natürlichen Zahlen beginnen in diesem Artikel bei 0.)

Wie jede Folge kann auch eine unendliche Reihe einen Grenzwert haben, man sagt dann, sie konvergiert. Hat sie keinen Grenzwert, dann divergiert sie. Dass unendliche Reihen konvergieren können, löste einige der Paradoxa von Zenon. Jede der Partialsummen ist eine endliche Reihe, also eine gewöhnliche Summe.

Eine der einfachsten konvergenten unendlichen Reihen ist

Man kann ihre Konvergenz auf der Zahlengeraden visualisieren: Stellen wir uns eine Linie mit der Länge zwei vor, auf der aufeinanderfolgene Abschnitte mit den Längen 1, 1/2, 1/4, usw. markiert sind. Es gibt auf dieser Linie immer noch Platz für einen weiteren Abschnitt, da immer noch so viel Platz ist, wie der letzte Abschnitt lang war: Wenn wir die Strecke 1/2 markiert haben, haben wir insgsamt 3/2 verbraucht, es bleiben also noch 1/2 übrig. Wenn wir nun 1/4 wegstreichen, bleibt ein weiters 1/4 übrig, etc. Dieses Argument beweist zwar nicht, dass die Summe gleich 2 ist, aber dass sie höchstens 2 ist. Die Reihe hat also eine Obergrenze.

Diese Reihe ist eine spezielle geometrische Reihe und wird mathematisch üblicherweise als

geschrieben.

Definition

Sei

der Partialsummen heißt unendliche Reihe und wird mit

Eine gegebene unendliche Reihe

konvergiert also genau dann, wenn der Grenzwert

existiert. Dieser Grenzwert S wird auch Wert der Reihe genannt. Konvergiert die Reihe nicht, heißt sie divergent.

Unabhängig von der Konvergenz setzt man oft

um so der Reihe einen Namen S zu geben. Konvergiert S, dann identifiziert man S mit dem Wert der Reihe.

Der Ausdruck

• Die Folge
  

  der Partialsummen.

• Im Falle der Konvergenz den Grenzwert
  

Konvergenzkriterien

Im Folgenden seien die Zahlen a_n stets reelle oder komplexe Zahlen, und die Reihe S definiert als

Notwendige Bedingung

Wenn die Reihe S konvergiert, dann konvergiert die Folge (a_n) der Summanden nach 0 für n->∞. Die Umkehrung ist nicht allgemeingültig (ein Gegenbeispiel ist die harmonische Reihe).

Majorantenkriterium

Wenn alle Glieder a_n der Reihe S nichtnegative reelle Zahlen sind, S konvergiert und für alle n gilt

a_n ≥ |b_n|

mit reellen oder komplexen Zahlen b_n,

dann konvergiert auch die Reihe

und es ist |T| ≤ S.

Minorantenkriterium

Wenn alle Glieder a_n der Reihe S nichtnegative reelle Zahlen sind, S divergiert und für alle n gilt

a_n ≤ b_n

mit nichtnegativen reellen Zahlen b_n,

dann divergiert auch die Reihe

Quotientenkriterium

Wenn eine Konstante C < 1 und ein Index N existiert, sodass für alle n ≥ N gilt

dann konvergiert die Reihe S.

Wurzelkriterium

Wenn eine Konstante C < 1 und ein Index N existiert, sodass für alle n ≥ N gilt

dann konvergiert die Reihe S.

Integralkriterium

Ist f: [1, ∞) -> [0, ∞) eine nichtnegative, monoton fallende Funktion mit

f(n) = a_n für alle n,

dann konvergiert S genau dann, wenn das Integral

existiert.

Leibniz-Kriterium

Eine Reihe der Form

mit nichtnegativen a_n wird alternierende Reihe genannt. Eine solche Reihe konvergiert, wenn die Folge a_n monoton fällt und gegen 0 konvergiert. Die Umkehrung ist nicht allgemeingültig.

Beispiele

Eine geometrische Reihe

konvergiert genau dann, wenn |z| < 1.

Die Reihe

konvergiert, wenn r > 1 und divergiert für r ≤ 1, was mit dem Integralkriterium gezeigt werden kann. Als Funktion von r aufgefasst, ergibt diese Reihe die Riemansche Zeta-Funktion.

Die Teleskopreihe

konvergiert genau dann, wenn die Folge b_n für n->∞ gegen eine Zahl L konvergiert. Der Wert der Reihe ist dann b₁ - L.

Potenzreihen

Einige wichtige Funktionen können als Taylorreihen dargestellt werden. Diese sind bestimmte unendliche Reihen, in denen Potenzen einer unabhängigen Variable vorkommen. Solche Reihen werden allgemein Potenzreihen genannt.

Fourierreihen

Als Fourierreihe einer Funktion bezeichnet man ihre Entwicklung als Summe von trigonometrischen Funktionen.

Literatur

K. Knopp Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, Springer, 1996 (Neuauflage)