Nicht jedes Polygon hat einen Umkreis. So hat zwar jedes Dreieck einen Umkreis, ein allgemeines Viereck hat jedoch keinen mehr. Vierecke die einen Umkreis besitzen, werden Sehnenvierecke genannt. Spezialfälle sind das gleichschenkligeTrapez, das Rechteck und das Quadrat.
Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der 3 Seiten.
Hat ein konvexes Vieleck einen Umkreis, dann schneiden sich alle Mittelsenkrechten seiner Seiten in einem Punkt, dem Umkreismittelpunkt. Umgekehrt gilt: Wenn sich alle Mittelsenkrechten eines konvexen Vielecks in einem Punkt schneiden, dann hat das Vieleck einen Umkreis.
Weitet man die Definition des Umkreises auf den Raum aus erhält man eine Umkugel, auf der alle Eckpunkte eines Polyeders liegen.
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