Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion (engl.: inverse function) einer bijektiven Funktion ist die Funktion, die jedem Element der Wertemenge sein eindeutig bestimmtes Urbildelement zuweist. (Bei bijektiven Funktionen hat die Urbildmenge jedes Elements genau ein Element.)

Schreibweise

Wenn f: A → B eine bijektive Funktion ist, dann bezeichnet f ^-1: B → A die Umkehrfunktion. Dabei ist das ^-1 nicht mit einer negativen Potenz bezüglich der Multiplikation zu verwechseln; es handelt sich bei dieser Schreibweise vielmehr um die Umkehrung der Hintereinanderausfühung von Funktionen.

Der Funktionswert f ^-1(y) ist definiert als das (eindeutig bestimmte) x in A, das die Gleichung f(x) = y erfüllt.

Beispiel

Sei f: R → R die Funktion mit f(x) = 3x + 2. Diese ist bijektiv und die Umkehrfunktion ist gegeben durch f^-1(y) = (y-2)/3.

Sei R₀⁺ = [0, ∞) die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen und f: R₀⁺ → R₀⁺, f(x) = x² eine eingeschränkte Quadrat-Abbildung. Dann ist f bijektiv. Die Umkehrfunktion f^-1 ist gegeben durch f ^-1: R₀⁺ → R₀⁺, f(x) = √x.

Siehe dazu auch die weiteren Beispiele im Artikel Injektivität.

Die Umkehrfunktionen von Einschränkungen der trigonometrische Funktionen Sinus (sin), Cosinus (cos) und Tangens (tan) auf geeignete Definitions- und Wertebereiche (auf denen diese Einschränkungen bijektiv sind) heißen Arcus-Funktionen: Arcus-Sinus (arcsin), Arcus-Cosinus (arccos) und Arcus-Tangens (arctan).

Die Umkehrungen geeigneter Einschränkungen der Hyperbelfunktionen Sinus Hyperbolicus (sinh), Cosinus-Hyperbolicus (cosh) und Tangens Hyperbolicus (tanh) heißen Areafunktionen: Areasinus Hyperbolicus (arsinh), Areacosinus Hyperbolicus (arcosh) und Areatangens Hyperbolicus (artanh).

Eigenschaften

Die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion ist die ursprüngliche Funktion, d.h.

(f ^-1)^-1 = f.

Ist f: A → B eine bijektive Funktion, dann gilt für die Umkehrfunktion:

f(f ^-1(x)) = x für alle x aus B,

f ^-1(f(x)) = x für alle x aus A.

Sind f: A → B und g: B → A zwei Funktionen mit den Eigenschaften

f(g(x)) = x für alle x aus B,

g(f(x)) = x für alle x aus A,

dann sind beide Funktionen bijektiv und g ist die Umkehrfunktion von f.

Ist f: A → B eine bijektive Funktion, wobei A und B Teilmengen von R sind, dann entsteht der Graph der Umkehrfunktion, indem man den Graph von f an der Diagonalen y = x spiegelt.