Tupel

Ein Tupel, häufig auch n-Tupel, ist ein Begriff der Mathematik. Er bezeichnet eine geordnete Zusammenstellung von Objekten, bei der im Gegensatz zu Mengen eine Reihenfolge festgelegt ist. Tupel werden üblicherweise durch runde, zuweilen auch durch spitze Klammern angegeben:

(a,b,c)

<a,b,c>

Die Objekte werden als Elemente, Komponenten oder Einträge des Tupels bezeichnet.

Dadurch, dass bei einem Tupel jedem seiner Elemente ein eindeutiger Platz zugeordnet ist, kann es auch mehrfach dasselbe Element enthalten.

n bezeichnet hierbei die Anzahl der Elemente des Tupels. Im Fall eines Tupels mit zwei Elementen spricht man auch von einem geordneten Paar. Diese Anzahl muss abzählbar sein. Üblicherweise werden die Elemente eines Tupels mit Hilfe der natürlichen Zahlen indiziert.

Abgrenzung gegenüber Mengen

Ein Tupel ist von einer Menge zu unterscheiden. Bei einer Menge ist die Reihenfolge der Elemente unerheblich! Deswegen kann eine Menge ein und dasselbe Element niemals mehrfach enthalten. Sie kann es nur entweder enthalten, oder es nicht enthalten.

Für die Menge stehen geschweifte Klammern, die kennzeichnen, dass die Elemente ungeordnet, d.h. ohne Reihenfolge, sind.

Beispiele

Das Tupel (a,b) ist verschieden von (b,a), dagegen ist die Menge {a,b} = {b,a}.

Ein Spezialfall von N-Tupeln sind Vektoren (eindimensionale Matrizen), bei denen alle Elemente derselben Klasse von Objekten angehören, beispielsweise den reellen Zahlen. Ein Richtungsvektor im Raum lässt sich als 3-Tupel darstellen, ein Richtungsvektor in der Ebene als 2-Tupel. Ein 2-Tupel wird auch als Paar bezeichnet.

(a,b) ist ein Paar oder 2-Tupel.

"(90, 60, 90)" ist ein 3-Tupel.

Formale Definition

Für Tupel wird gefordert, dass zwei N-Tupel dann und nur dann gleich sind, wenn sie in allen entsprechenden Komponenten übereinstimmen:

(a₁,a₂,...,a_N)=

(b₁,b₂,...,b_N) genau dann wenn gilt: a₁=b₁, a₂=b₂,..._, a_N=b_N.

Zwei alternative Definitionen derartiger Tupel sind üblich.

• 1. Mit Hilfe von Mengen :
• • 1. (a₁,a₂,..._, a_n) := {a₁, {a₁,a₂},..._, {a₁,a₂,...a_n}}
• 2. Mit Hilfe der induktiven Definition :
• • 1. Ein 1-Tupel (a₁) ist gleich a₁
  • 2. Wenn X ein N-Tupel ist, dann ist, (X, a_n+1) ein (N+1)-Tupel

Beide Definitionen erfüllen die vorstehende Forderung.

Hat man den Begriff der Funktion bereits, kann man ein N-Tupel mit Einträgen aus einer Menge X (also einen N-stelligen Vektor in X) auch als Funktion von der Menge {1,..._, N} in die Menge X auffassen. Ein Tupel mit abzählbar vielen Einträgen ist eine Folge, d.h. eine Funktion von der Menge N der natürlichen Zahlen in die Menge X.

Herkunft

N-Tupel ist ein Kunstwort, welches aus der Verallgemeinerung der Ausdrücke Paar, Tripel, Quadrupel, Quintupel, usw. für n Elemente entstanden ist, indem bei Quintupel das "Quin" durch "N-" ersetzt worden ist. Davon lässt sich auch die Aussprache der Entsprechung zu "Tupel" in Fremdsprachen ableiten.

Siehe auch: Mengenlehre, Quaternionen, Relation