Topologischer Raum

Ein Topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik.

Er besteht aus einer beliebigen Grundmenge, der durch Spezifizierung einer so genannten Topologie eine abstrakte mathematische Raumstruktur aufgeprägt wird.

Definition

Eine Topologie ist eine Familie

• Die leere Menge und die Grundmenge X sind offene Mengen.
• Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
• Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist eine offene Menge.

Eine Menge X zusammen mit einer Topologie auf X heißt topologischer Raum. Eine Teilmenge von X, deren Komplement offene Menge ist, heißt abgeschlossen.

Eine Topologie

Weitere Begriffe im Zusammenhang mit topologischen Räumen sind im Topologie-Glossar zusammengefasst.

Beispiele

• 1. Auf jeder Grundmenge existieren als triviale Beispiele von Topologien:
• • 1. Die indiskrete (oder chaotische) Topologie, die nur die leere Menge und die Grundmenge enthaelt.
  • 2. Die diskrete Topologie, die alle Teilmengen enthält.
• 2. Das System der offenen Teilmengen eines metrischen Raums ist eine Topologie.
• 3. Als etwas ungewöhnlicheres Beispiel existiert auf einer unendlichen Menge M (z.B. der Menge der natürlichen Zahlen) die kofinite Topologie: Offen sei die leere Menge sowie jede Teilmenge von M, deren Komplement nur endlich viele Elemente enthält.

Sprechweise

Im Hinblick auf geometrische Anwendungen werden die Elemente der Grundmenge oft als Punkte bezeichnet.

Umgebungen eines Punktes werden dann definiert als Obermengen von offenen Mengen, die den Punkt enthalten.

Umgekehrt charakterisieren die Umgebungen die offenen Mengen:

• Eine Menge ist offen genau dann, wenn sie mit jedem ihrer Punkte auch eine Umgebung dieses Punktes enthält. (Dieser Satz erklärt die Verwendung des Wortes offen für den oben definierten mathematischen Begriff.)

Literatur

H. Schubert: Topologie, Teubner, Stuttgart 1964, ISBN_3519122006

Links

Weitere mathematische Räume siehe unter Raum (Mathematik)