Tetraeder

Dieser Artikel beschäftigt sich mit dem Tetraeder als geometrischer Körper. Für andere Bedeutungen siehe Tetraeder (Begriffsklärung)

Allgemeines Tetraeder

Ein Tetraeder im allgemeinen Sinn ist eine Pyramide, die ein Dreieck als Grundfläche hat. Tetraeder gehören zu den Polyedern und besitzen 4 Flächen (Dreiecke), 4 Ecken und 6 Kanten.

Eigenschaften des allgemeinen Tetraeders

• Jedes Tetraeder besitzt eine Umkugel und eine Inkugel.

• Die Verbindungsstrecken zwischen den Ecken und den Schwerpunkten der Flächen schneiden sich in einem Punkt, und zwar im Verhältnis 3:1.

Regelmäßiges (reguläres Tetraeder)

Wenn von einem Tetraeder gesprochen wird, ist häufig das regelmäßige (reguläre) Tetraeder gemeint. Das regelmäßige Tetraeder ist der einzige platonische Körper, der zu sich selbst dual ist.

Eigenschaften des regelmäßigen (regulären) Tetraeders

• Die vier Flächen des regelmäßigen Tetraeders sind gleichseitige Dreiecke.

• Das regelmäßige Tetraeder lässt sich in ein Hexaeder (einen Würfel) einbeschreiben, wobei die 6 Kanten die Diagonalen der 6 quadratischen Flächen des Hexaeders bilden. Dabei entspricht die Kantenlänge des Tetraeders dem fachen der Kantenlänge des Hexaeders. Das Volumen des in das Hexaeder einbeschriebenen Tetraeders beträgt 1/3 des Hexaedervolumens.

• Das regelmäßige Tetraeder lässt sich so in zwei Teile schneiden, dass die Schnittfläche ein Quadrat ergibt.

• Ein Zwillingstetraeder ist ein geometrischer Körper, bei dem sich zwei Tetraeder so durchdringen, dass ihre acht Enden der Struktur eines Hexaeders gleichen. Wenn man von einem Zwillingstetraeder die Pyramiden wegschneidet, bekommt man als "Kern" ein Oktaeder.

Formeln für das reguläre Tetraeder:

Im Folgenden bezeichnet a die Seitenlänge:

• Volumen:
  

• Oberfläche:
  

• Umkugelradius:
  

• Inkugelradius:
  

• Höhe:
  

Konstruktion

Eine einfache Möglichkeit, ein regelmäßiges Tetraeder zu erhalten, besteht darin, vier geeignete Ecken eines Würfels auszuwählen. Auf diese Weise erhält man in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem zum Beispiel die Punkte A(1,1,1), B(1,-1,-1), C(-1,1,-1) und D(-1,-1,1). Die Ecken werden jeweils miteinander verbunden; AB, AC, AD, BC, BD und CD. Als Begrenzungsflächen ergeben sich die Dreiecke ABC, ABD, BCD und ACD.

Muss noch eingefügt werden

Das reguläre Tetraeder hat kubische Symmetrie und die Punktgruppe . Die Symmetrieelemente eines Tetraeders sind vier dreizählige Symmetrieachsen und drei vierzählige Drehinversionsachsen (hierbei kommt zur Drehung noch eine Inversion, d.h. Punktspiegelung, hinzu), außerdem noch sechs Spiegelebenen.

In der Chemie spielt das Tetraeder bei der räumlichen Anordnung von Atomen in Verbindungen eine große Rolle. So sind beispielsweise die Kohlenstoffatome im Diamantgitter tetraedisch angeordnet, jedes Atom ist von vier weiteren Atomen umgeben. Auch das Methan bildet, aufgrund der sp₃-Hybridisierung des Kohlenstoff-Atoms, ein Tetraeder.