Summe

Die Summe ist allgemein eine Menge von Elementen, die ein gemeinsames Ganzes ergeben. In der Mathematik ist eine Summe das Ergebnis einer Addition.

Dieser Artikel behandelt Summen im mathematischen Sinn.

Definition

Die Summe S einer Folge von beliebigen Zahlen a₁, a₂,.._., a_n ist gegeben durch

S = a₁ + a₂ +.._. + a_n.

Notation

Summen werden kurz mit dem großen griechischen Buchstaben Sigma notiert.

Es wird entweder unter dem Sigma eine Zählvariable (oder Indexvariable) mit Startwert und oberhalb des Sigmas der Endwert angegeben, oder unterhalb des Sigmas eine oder mehrere Bedingungen für die Zählvariable.

Zur Bezeichnung von Zählvariablen werden meistens die Buchstaben i, j und k verwendet. Wenn nicht eindeutig hervorgeht, welche Variable die Zählvariable ist, muss dies im Text angemerkt werden.

Für

besteht die Summe aus einem einzigen Summanden

Es hat sich als nützlich erwiesen, für

folgende Konvention einzuführen:

(leere Summe).

Unendliche Summen

Wenn unendlich viele Ausdrücke summiert werden, also zum Beispiel

mit unendlich vielen Summanden ungleich Null, müssen Methoden der Analysis angewendet werden um den entsprechenden Grenzwert zu finden. Eine solche Summe wird unendliche Reihe genannt. Als Obergrenze schreibt man das Symbol für Unendlichkeit (∞).

Es ist aber anzumerken, dass nicht jede Summe, die ∞ als Obergrenze besitzt, eine unendliche Summe sein muss. Zum Beispiel hat die Summe

für Primzahlen p und der Ganzzahl-Funktion [x], zwar unendlich viele Summanden, aber nur endlich viele sind ungleich Null. (Diese Summe gibt an, wie oft der Faktor p in der Primfaktorzerlegung von n! vorkommt.)

Einige nützliche Summen

(Summe der ersten n natürlichen Zahlen)

(arithmetische Reihe)

(geometrische Reihe)

(unendliche geometrische Reihe)

(siehe Binomialkoeffizient)

(siehe Binomischer Lehrsatz)

Siehe auch

Reihe (Mathematik)