Steigung

Die Steigung bezeichnet das Verhältnis von Höhengewinn (der möglicherweise negativ ist) zu Seitengewinn. Ein negativer Höhengewinn wird auch als Gefälle bezeichnet.

Im vorangehenden Bild etwa beträgt der Höhengewinn 2 und der Seitengewinn 4. Die Steigung ist daher 2/4 = 0,5 = 50%. Der auftretende Winkel

Bei einer Steigung von 6% einer Straße bedeutet das, dass pro gefahrenem Kilometer eine Höhendifferenz von etwa 60 Metern überwunden wird. ("Etwa" deshalb, weil die gefahrene Strecke etwas größer als der Seitengewinn ist.)

Bei einer Geraden mit der Funktionsgleichung f(x)=mx+b ist m die Steigung, da sich bei einer Änderung von x um 1 der Funktionswert f(x) um m ändert.

Berechnung einer Steigung in einer mathematischen Funktion

Steigung bei einem bestimmten Punkt

Universell

• 1. falls nur y-Wert bekannt, x-Wert berechnen
• 2. Ableitung der Funktion
• 3. x-Wert(e) einsetzen

Beispiel

Anmerkungen vorweg:

• 1. sqrt(x) bedeutet Quadratwurzel aus x
• 2. die abgeleitete Funktion kennzeichnet man üblicherweise durch einen Strich hinter dem Funktionsnamen: '

gegeben: f(x) = x² + 1 gesucht: Steigung bei y = 4

==== Setze y = 4 in f(x)====

f(x) = x² + 1

4 = x² + 1 | - 4

0 = x² - 3

(bei Fragen zur Rechnung siehe: Mitternachtsformel)

Ableitung der Funktion

f(x) = x² + 1 f(x) = x² + 1x⁰

f'(x) = 2x¹ + 0*1x^-1

f'(x) = 2x + 0 f'(x) = 2x

(bei Fragen zur Rechnung siehe: Differentialrechnung: Ableitung)

Setze x in f'(x)

Setze x₁ in f'(x)

f'(x) = 2x f'(sqrt(3)) = 2 * sqrt(3)

f'(sqrt(3)) ist rund 3,46

Setze x₂ in f'(x)

f'(x) = 2x f'(-sqrt(3)) = 2 * (-sqrt(3))

f'(sqrt(3)) ist rund -3,46

Antwort: Es gibt 2 Punkte an denen y = 4 ist. P₁(-sqrt(3)|4) und P₂(+sqrt(3)|4). An diesen Punkten ist die Steigung rund -3,46 (P₁) bzw. 3,46 (P₂).

Mittlere Steigung eines bestimmten Intervalls

Universell

• 1. falls nur der kleinste y-Wert des Invervalls bekannt (und nicht der x-Wert), zugehörigen x-Wert berechnen
• 2. a definieren (kleinste x-Wert des Intervalls)
• 3. falls nur der größte y-Wert des Invervalls bekannt (und nicht der x-Wert), zugehörigen x-Wert berechnen
• 4. b definieren (größte x-Wert des Intervalls)
• 5. a und b in folgende Formel einsetzen:

- a ist der kleinste x-Wert des Intervalls

- b ist der größste x-Wert des Intervalls

- m_s ist die mittlere Steigung im Intervall

Beispiel

bitte ergänzen