Spline

Ein Spline ist ein Begriff aus der numerischen Mathematik und bezeichnet ein stückweises Polynom, das stetig ist. Sind die einzelnen Polynome alle linear, so nennt man den Spline linear, analog gibt es quadratische, kubische usw. Splines. Der Begriff stammt aus dem Schiffbau: eine lange dünne Latte (Straklatte), die an einzelnen Punkten durch Nägel fixiert wird, biegt sich genau wie ein kubischer Spline.

An den Punkten, wo zwei Polynome aufeinanderandertreffen, können verschiedene Bedingungen vorgeschrieben werden, um so beispielsweise sogar differenzierbare Splines zu erzielen. Je nach Art der Bedingungen heißt der Spline dann natürlich, periodisch oder allgemein.

B-Splines

Wie auch der Raum der Polynome ist der Raum der stückweisen Polynome ein Vektorraum und hat eine Basis. Im Kontext numerischer Verfahren, wo Splines häufig eingesetzt werden, ist die Wahl der Basis entscheidend für eventuelle Rundungsfehler und damit für die praktische Einsetzbarkeit. Eine bestimmte Basis hat sich hier als am besten geeignet herausgestellt: sie ist numerisch stabil und erlaubt die Berechnung von Werten der Spline-Funktion mittels einer Drei-Term-Rekursion. Die B-Spline-Basisfunktionen haben einen kompakten Träger, sie sind also nur auf einem kleinen Intervall nicht Null. Änderungen an einer Basisfunktion wirken sich also nur lokal aus. Splines, die in dieser Basis dargestellt werden, nennt man B-Splines. Sie werden vor allem zur Interpolation von Funktionen benutzt.

Siehe auch: Spline-Interpolation

Kurven

Splines lassen sich auch gut benutzen, um Kurven darzustellen. Hier finden sie Einsatz im CAD. Eine Spline-Kurve, deren Darstellung auf B-Splines beruht, nennt man B-Spline-Kurve. Bestimmt wird die Kurve durch so genannte De Boor Punkte, mit denen sich das Aussehen der Kurve leicht steuern läßt: Die Kurve liegt immer in der konvexen Hülle der De Boor punkte, wird also von ihnen eingeschlossen.

Eine ähnliche Darstellung haben Bézier-Kurven. Diese basieren nicht auf der oben genannten Basis, sondern auf den Bernsteinpolynomen. Genau wie bei B-Spline-Kurven die de Boor Punkte gibt es hier die Bézier-Punkte, die das so genannte Kontrollpolygon bilden und mit denen man die Kurve leicht graphisch darstellen kann.

Mathematisch analog lassen sich auf beide Weisen nicht nur Kurven, sondern auch Flächen beschreiben.

Literatur

• C. de Boor, A practical Guide to Splines, Springer Verlag, New York, 1978.
• G. Farin, Curves and Surfaces for CAGD, Academic Press, San Diego, 1997.