Spiegelung (Geometrie)

Zwei Arten geometrischer Abbildungen der Zeichenebene in sich werden als Spiegelungen bezeichnet:

Achsenspiegelung

Es handelt sich um eine Abbildung, die durch eine Gerade a (Spiegelachse) gegeben ist. Die Spiegelung an der Achse a ordnet jedem Punkt P der Zeichenebene einen Bildpunkt P' zu, der dadurch bestimmt ist, dass die Verbindungsstrecke [PP'] von der Achse a rechtwinklig halbiert wird.

Die Fixpunkte einer solchen Achsenspiegelung (also die Punkte, die die Abbildung unverändert lässt) sind genau die Punkte von a. Man spricht daher auch von der Fixpunktgerade a. Die Fixgeraden dieser Achsenspiegelung (also die Geraden, die die Abbildung unverändert lässt) sind genau die Achse a selbst sowie alle Lotgeraden zur Achse.

Die Achsenspiegelung ist geraden-, längen- und winkeltreu. Daher ist die Achsenspiegelung eine Kongruenzabbildung. Wenn zwei kongruente Objekte vorliegen, können diese in jedem Fall durch Komposition (Verkettung, Hintereinanderausführung) beliebig vieler Achsenspiegelungen ineinander übergeführt werden.

Punktspiegelung

Eine Drehung um 180° bezüglich eines Drehzentrums Z bezeichnet man auch als Punktspiegelung mit dem Zentrum Z. Jedem Punkt P der Zeichenebene wird ein Bildpunkt P' zugeordnet, der dadurch bestimmt ist, dass Z der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke [PP'] ist.

Eine Punktspiegelung hat genau einen Fixpunkt, nämlich das Zentrum Z. Fixgeraden sind genau die Geraden durch Z. Eine beliebige Gerade g wird auf eine zu g parallele Gerade (Bildgerade) g' abgebildet.

Punktspiegelungen sind geraden-, längen und winkeltreu. Die Punktspiegelung gehört daher zu den Kongruenzabbildungen. Jede Punktspiegelung lässt sich ersetzen durch zwei hintereinander ausgeführte Achsenspiegelungen, wobei die Achsen dieser Spiegelungen durch das Zentrum Z gehen und zueinander senkrecht sind.

Ebenenspiegelung

In der Raumgeometrie kommt noch eine weitere Art der Spiegelung hinzu, nämlich die Ebenenspiegelung. Hier wird die Verbindungsstrecke zwischen Punkt

Die Reflexion von Lichtstrahlen (siehe Optik) an einem ebenen Spiegel entspricht geometrisch einer Ebenenspiegelung.