Spezielle lineare Gruppe

Lineare Gruppen dienen in der Mathematik der Beschreibung kontinuierlicher Symmetrien.

Die spezielle lineare Gruppe vom Grad n über einem Körper F, SL(n,F), ist die Gruppe aller n×n Matrizen mit Koeffizienten aus F, die invertierbar sind und eine Determinante von 1 haben. Gruppenverknüpfung ist die Matrixmultiplikation.

Wenn aus dem Kontext klar ist, dass der Körper die Menge R der reellen oder C der komplexen Zahlen ist, schreibt man auch SL(n).

Die spezielle lineare Gruppe SL(n,F) ist eine normale Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe GL(n,F).

Die Faktorgruppe GL(n,F)/SL(n,F) ist isomorph zu F^×, der multiplikativen Gruppe von F (d.h. F^× ist F ohne die 0): Man kann jede Matrix aus GL(n,F) erhalten, indem man eine Matrix aus SL(n,F) mit einem Skalar aus F multipliziert.

Wichtige Untergruppen der SL(n,F) sind die spezielle orthogonale Gruppe SO(n,F) und die spezielle unitäre Gruppe SU(n,F).

Die spezielle lineare Gruppe SL(n) über dem Körper R oder C ist eine Lie-Gruppe über F der Dimension n²-1.

Die speziellen linearen Gruppen sind algebraische Gruppen, da die Bedingung, dass die Determinante gleich 1 sein muss, durch eine polynomiale Gleichung in den Matrix-Koeffizienten ausgedrückt werden kann.