Ringtheorie

Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, die sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt. Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, ähnlich wie in den ganzen Zahlen

Definition (Ring)

Formal definiert ist ein Ring eine Menge

Für alle Elemente

aus der Menge

Die allgemeine Durchführbarkeit der Subtraktion ergibt sich aus den Gruppenaxiomen der Addition.

Eigenschaften

Jeder Ring R ist ein Modul über sich selbst (mit sich selbst als zugrundeliegendem Ring). In diesem Fall sind die Ideale im Ring R gerade die Untermoduln des Moduls R.

Arten von Ringen

Ist die Multiplikation kommutativ, spricht man von einem kommutativen Ring.

Gibt es bezüglich der Multiplikation ein neutrales Element, so wird dies normalerweise als 1 bezeichnet, man hat dann einen Ring mit 1 oder unitären Ring.

Ist

ein multiplikatives Inverses, so heißt

Gibt es in

so dass

dann heißt

Ist

siehe auch Hierarchie mathematischer Strukturen