Restklassenring

In der Mathematik ist ein Restklassenring ein spezieller Faktorring, der aus Restklassen ganzer Zahlen besteht.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit der algebraischen Definition und abstrakteren Eigenschaften von Restklassenringen.

Für eine einfacher verständliche Einführung in die Rechenregeln siehe den Artikel Kongruenz (Zahlentheorie).

Definition

Ist n eine natürliche Zahl, dann fasst man ganze Zahlen mit gleichem Rest bei Division durch n zusammen zu so genannten Restklassen. Die Restklassen bilden zusammen den Restklassenring, der mit Z/nZ oder Z_n bezeichnet wird (sprich "Z modulo n").

Die Addition und Multiplikation von Restklassen erfolgt durch Addition und Multiplikation von beliebigen Elementen dieser Klassen und anschließende Restbildung des Ergebnisses.

Bezeichnet man die Restklasse von a mit [a], dann definiert man also

[a]+[b]:=[a+b] und

[a]·[b]:=[a·b].

Dass diese Verknüpfungen des Restklassenrings wohldefiniert sind, liegt an der folgenden Eigenschaft der Restklassen.

Sind a₁, b₁, a₂, b₂ ganze Zahlen mit

[a₁] = [b₁] und [a₂] = [b₂],

dann gilt

[a₁ + a₂] = [b₁ + b₂]

und

[a₁ · a₂] = [b₁ · b₂].

Beispiele

Z/3Z

Bei Divison durch 3 entstehen die drei Restklassen

0 := [0] = {..._; -6; -3; 0; 3; 6; 9; 12;..._ }, d.h. die durch 3 teilbaren Zahlen.

1 := [1] = {..._; -5; -2; 1; 4; 7; 10; 13;... }, d.h. der Divisionsrest ist 1.

2 := [2] = {..._; -4; -1; 2; 5; 8; 11; 14;... }, d.h. der Divisionsrest ist 2.

Berechnen wir 1 + 2:

Wähle etwa die 4 aus 1 und die 8 aus 2. Rechne 4 + 8 = 12. 12 ist in 0. Also 1 + 2 = 0.

Die Menge Z/3Z = {0,1,2} bekommt so die Verknüpfungstabellen:

(Z/3Z,+,·) ist ein Ring, und in diesem Fall sogar ein Körper, der als F₃ bezeichnet wird (von engl. field).

Z/4Z

Betrachten wir die Reste bei Division durch 4.

Z/4Z = {0;1;2;3} mit

0 = {..._; -4; 0; 4; 8; 12; 16;..._ }

1 = (..._; -3; 1; 5; 9; 13; 17;..._ }

2 = (..._; -2; 2; 6; 10; 14; 18;... }

3 = (..._; -1; 3; 7; 11; 15; 19;... }

Darin ist 2 · 2 = 0. Die Multiplikation ist also in Z/4Z/{0} nicht abgeschlossen, es gibt Nullteiler (2 ist Teiler von 0).

Die so entstandende Struktur (Z/4Z,+,·) ist kein Körper, sondern nur ein kommutativer Ring (der Restklassenring modulo 4).

Restklassenkörper

Ist p eine Primzahl, dann ist der Restklassenring Z/pZ ein endlicher Körper, der Restklassenkörper modulo p, und wird als F_p bezeichnet.

Ist dagegen n keine Primzahl, dann ist der Restklassenring modulo n kein Körper, da die Restklasse jedes echten Teilers von n ein Nullteiler ist.

Eine Restklasse

mit

symbolisiert.

Verallgemeinerung

Die Idee der Restklassen lässt sich auch in anderen Ringen als den ganzen Zahlen realisieren. Man definiert dazu den Begriff des Ideals und bildet Restklassen modulo einem Ideal, die ihrerseits einen Ring bilden, den man Faktorring nennt.