Punktgruppe

Eine Punktgruppe beschreibt die Symmetrie eines Körpers.

In der Molekülphysik sind Punktgruppen unentbehrlich, um aus spektroskopischen Daten auf die Symmetrie eines Moleküls zu schließen, oder um anhand der bekannten Symmetrie physikalische Eigenschaften vorherzusagen. In der Kristallographie ist die Bestimmung der Punktgruppe ein Schritt auf dem Weg zur Bestimmung der Raumgruppe, die die Symmetrie eines Kristalls beschreibt.

Die Symmetrie eines Körpers wird mathematisch als Menge aller möglichen Symmetrieoperationen beschrieben. Mögliche Symmetrieoperationen sind Punktspiegelung an einem Inversionszentrum, Spiegelung an einer Spiegelebene, Drehung um eine Drehachse, sowie als Kombination daraus eine Drehspiegelung. Wenn man das Hintereinanderausführen von Symmetrieoperationen als additive Verknüpfung auffasst, erkennt man, dass eine Menge von Symmetrieoperationen eine (in der Regel nicht kommutative) Gruppe ist.

Die internationale Symbolik hierfür wurde aus der von C. Hermann und Ch. Mauguin abgeleitet; daneben ist auch die von Schoenflies weit verbreitet.

Bei Hermann-Mauguin steht die Zähligkeit der Symmetrie im Vordergrund.

Dabei wird in der internationalen Form nicht für alle Achsen eine Angabe gemacht, sondern verkürzt dargestellt. Z.B. mmm statt 2/m 2/m 2/m

System von Schoenflies:

Dabei wird an den Großbuchstaben je nach Bedarf eine Ziffer und/oder ein Kleinbuchstabe als Index angehängt, z.B. D_2h.

Nicht alle Symmetrien eines Moleküls sind mit der Symmetrie eines Kristalls vereinbar: wie Pierre Curie erkannte, sind in einem Kristall nur 6-, 4-, 3-, 2-zählige Drehachsen möglich (Drehungen um 60, 90, 120 bzw. 180 und jeweils Vielfache davon). Die Angabe einer 1-zähligen Drehachse bedeutet, dass ein Körper keine Drehsymmetrie besitzt.

Es gibt im endlichdimensionalen Raum nur endlich viele mit Kristallsymmetrie verträgliche Punktgruppen. Speziell im dreidimensionalen euklidischen Raum gibt es 32 davon.

Um die möglichen Symmetrie eines Kristalls zu beschreiben, überlagert man diese 32 Punktgruppen mit den 14 Kristallsystem und kommt - nach Ausscheiden isomorpher Gruppen - auf die 230 Raumgruppen.