Projektive Geometrie

Die Projektive Geometrie ist aus der perspektivischen Darstellung dreidimensionaler Gegenstände in der zweidimensionalen Ebene hervorgegangen. Die projektive Geometrie ist eine spezielle Nichteuklidische Geometrie, die es möglich macht, unendlich ferne Punkte in ein leistungsfähiges Kalkül miteinzubeziehen.

Zum Beispiel schneiden sich in der Projektiven Ebene zwei beliebige Geraden in einem (möglicherweise unendlich fernen) Punkt.

Projektive Geometrie findet in so genannten projektiven Räumen oder projektiven Ebenen statt.

Wir definieren zunächst die projektive Ebene ausgehend von der euklidischen Ebene:

Jeder Punkt in der Ebene lässt sich durch ein Paar von Koordinaten (x,y) darstellen. Verschieben wir jetzt einen Punkt entlang einer Ursprungsgerade immer weiter in Richtung unendlich, so bleibt das Verhältnis x : y stets konstant.

Um diese Verschiebung ins Unendliche formal zu beschreiben, führen wir eine zusätzliche Koordinate w ein, gehen also in den 3-dimensionalen Raum über, und definieren eine Abbildung:

Je größer w ist, desto ferner ist der beschriebene Punkt vom Nullpunkt.

Für w = 0 ist die Abbildung nicht definiert, es existiert also kein Bildpunkt in der Euklidischen Ebene. Der Punkt (x, y, 0) repräsentiert in unserer Darstellung genau denjenigen Punkt, der in Richtung der durch (x, y) definierten Ursprungsgeraden unendlich nahe am Nullpunkt liegt.

Beachte nun, dass (x, y, w) und (tx, ty, tw) (t eine von Null verschiedene reelle Zahl) durch den selben Punkt der euklidischen Ebene repräsentiert werden.

Für den Punkt (0, 0, 0) haben wir keine sinnvolle Verwendung.

Nun können wir die projektive Ebene definieren:

Die projektive Ebene ist der 3-dimensionale Raum ohne Nullpunkt, wobei zwei Punkte identifiziert werden wenn (x, y, w) = (tx, ty, tw) gilt.

Geometrisch kann man sich die projektive Ebene als Menge der Ursprungsgeraden im 3-dimensionalen Raum veranschaulichen.

Projektive Räume höherer Dimensionen lassen sich analog konstruieren.