Primideal

In der abstrakten Algebra ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes, die viele Eigenschaften einer Primzahl hat.

Primideal eines kommutativen Ringes

Sei R ein kommutativer Ring mit 1 und

gilt:

Aus folgt oder ._

Beispiele

• Die Menge der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
• Die Menge der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in ,_ da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.

Eigenschaften

• Der Faktorring ist ein Integritätsbereich genau dann wenn prim ist.
• Ein Element ist genau dann ein Primelement, wenn das vonp erzeugte Hauptideal(p) ein Primideal ist.

Primideal eines nichtkommutativen Ringes

Sei R ein Ring mit 1 und

gilt:

Wenn für alle gilt, dass liegt, dann ist oder ._

Für einen kommutativen Ring stimmt diese Definition mit der obigen überein, für einen nichtkommutativen unterscheiden sie sich im allgemeinen. Ein Ideal

(Hab diese deutsche Bezeichnung von "completely prime ideal" nur auf einer Webseite gefunden, gibt's Literaturstellen dazu?)