Potenzmenge

Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge.

Die Potenzmenge ist also ein Mengensystem, das heißt, eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind.

Die Potenzmengen einer Grundmenge X notiert man zumeist als P(X) oder Π(X). In Formelschreibweise lautet die Definition der Potenzmenge

(lies: P von X ist definiert als die Menge aller U, für die gilt: U ist Teilmenge von X).

Beispiel: ist A = {a, b}, dann ist P(A) = {{a, b}, {a}, {b}, {} }.

Eigenschaften

Ist A eine endliche Menge mit n Elementen, dann hat P(A) 2ⁿ Elemente.

Ist A eine unendliche Menge, dann hat P(A) eine größere Mächtigkeit als A. Nach der allgemeinen Kontinuumshypothese (GCH) ist |P(A)| die nach |A| nächstgrößere Mächtigkeit.

Man kann die Potenzmenge von A identifizieren mit der Menge aller Funktionen von A in die Menge {0, 1}, indem man eine Teilmenge M von A mit ihrer charakteristischen Funktion 1_M gleichsetzt:

Die Existenz der Potenzmenge jeder Menge wird in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre als eigenes Axiom gefordert, nämlich durch das Potenzmengenaxiom.

Eine Teilmenge der Potenzmenge heißt Mengensystem.