Polynominterpolation

Unter Polynom-Interpolation versteht man die Lösung der Aufgabe, ein Polynom zu finden, das n+1 gegebene Funktionswerte interpoliert, also durch sie hindurch geht. Für n+1 gegebene Punkte gibt es nach dem Fundamentalsatz der Algebra genau ein Polynom n. Grades, das diese erfüllt, jenes nennen wir das Interpolations-Polynom.

Ein Polynom n. Grades hat n+1 Koeffizienten, also ebenso viele Freiheitsgrade. Die Lösung des Interpolationsproblems kann also durch ein linearen Gleichungssystem bestimmt werden. Wie dieses Gleichungssystem genau aussieht, hängt von der gewählten Darstellung beziehungsweise Basis ab. Die so genannte Newton-Basis hat sich hier bewährt:

Die Berechnung der Unbekannten kann hier mittels des Neville-Aitken Schemas (auch Schema der dividierten Differenzen genannt) effizient erfolgen. Eher für theoretische Betrachtungen günstig ist eine Darstellung in der Lagrange-Basis. Hier nennt man die Basisfunktionen Lagrange-Polynome:

Die Lösung des Interpolationsproblems läßt sich dann einfach angeben als

Der große Vorteil der Newton-Basis ist, daß sich dort neue Punkte sehr leicht einfügen lassen, indem man einfach am Ende noch einen Term anhängt. Bei der Lagrange-Basis muss man alle Basisfunktionen komplett neu berechnen.

Polynome haben den Nachteil, daß sie viele Extrema haben und deswegen häufig recht stark schwingen, weswegen es manchmal vorteilhaft ist, das Interpolationspolynom aus Teil-Polynomen zusammenzusetzen (siehe Spline-Interpolation).