Polygon

Ein Polygon, griechisch für Vieleck, ist ein Begriff aus der Geometrie.

Es ist eine geschlossene Figur, die durch ein Tupel

von n Punkten (die Eckpunkte genannt werden) eindeutig definiert wird.

Die Strecken

und

Meist werden noch weitere Bedingungen vorausgesetzt:

• Das Polygon hat mindestens 3 paarweise von einander verschiedene Eckpunkte.
• Die Kanten schneiden (berühren) sich nur in den Eckpunkten. Andernfalls bezeichnet man das Polygon auch als überschlagen.

In einigen Fällen wird die Kante

ist.

Mathematische Beziehungen

In einem nicht überschlagenen n-Eck ist die Summe der Innenwinkel

Typische Vertreter

• Dreieck
• Viereck
• Quadrat (Geometrie)
• Rechteck
• Trapez
• Parallelogramm
• Drachenviereck

• Fünfeck
• Sechseck
• Achteck

Spezielle Typen

Vielecke können gleichseitig oder gleichwinklig sein; hat ein Vieleck gleiche Seiten und gleiche Winkel, dann wird es als reguläres oder regelmäßigen Vieleck bezeichnet. Ein reguläres n-Eck hat stets einen Umkreis mit Radius

• Flächeninhalt:
  
• Inkreisradius:
  
  

• Umkreisradius:
  
  

Nicht überschlagene Vielecke können konvex oder konkav sein.

Man unterscheidet in der Ebene liegende (planare) und im Raum liegende (nicht-planare) Polygone.

Berühmte Vielecke

• das Pentagon
• das Pentagon in Kronach,
• die Veste Rosenberg zeigt ein Fünfeck als Grundriss

Polygone in der Computergraphik

In der Computergraphik sind Polygone meist Vielecke, aus denen durch komplexe Grafikroutinen eine 3D-Landschaft zusammengesetzt wird. Flächen, umgrenzt von geschlossenen Linien, werden dabei verwendet, um räumliche Elemente zu beschreiben. Die Repräsentation erfolgt in Vektorform. Um Cyberwelten besonders echt wirken zu lassen, ist also eine gehörige Portion mathematisches Know-how vonnöten.

Mit Hilfe spezieller Graphikprogramme kann ein Polygon aus beliebigen einzelnen Eckpunkten und Kanten/Segmenten zusammengefügt werden. Sobald ein Linienzug zu einem einfachen Polygon geschlossen wird, verschwinden alle übriggebliebenen Punkte und Segmente und nur das einfache Polygon bleibt übrig. In diesem geschlossenen Polygon wird nun der Kern bzw. das Sichtbarkeitspolygon eingezeichnet. Auch nach dem Schließen des Polygons kann dessen Gestalt weiterverändert werden; der Grafik-Editor erlaubt neben dem Verschieben von Eckpunkten, Kanten oder des gesamten Polygons auch das Rotieren, Skalieren oder Scheren des Polygons in einem Kontextmenü. Eckpunkte und Kanten können auch gelöscht und neue hinzugefügt werden.

Je zahlreicher und kleiner die Polygonen sind, desto realistischer wirkt die künstliche Bildschirmwelt. Kultstar Lara Croft (Tomb Raider) besitzt z.B. einen Körper, der aus einer Vielzahl solcher Polygonen besteht.

Die Güte eines Computerspiels bemisst sich zu einem großen Teil nach der Anzahl der gleichzeitig darstellbaren Bildpunkte, Farben, bewegten Flächen und Lichtreflexe. Je mehr solcher Attribute ohne sichtbare Zeitverzögerung für jede Perspektivänderung zu berechnen sind, desto räumlicher und interessanter wird ein Spiel. Voraussetzung für eine wirklichkeitsnahe Wiedergabe am Bildschirm ist ein schneller Prozessor, denn je schneller der Prozessor, desto mehr Polygone können in den vier Dimensionen der Raumzeit berechnet werden. Die Playstation 2 kann theoretisch 70 Millionen Polygone in jeder Sekunde verarbeiten.

Siehe auch

Polyeder, Polytop, Winkelsumme, Außenwinkel

Weblinks

• http://www.iti.fh-flensburg.de/lang/algorithmen/geo/polygon.htm - Zur Mathematik unregelmäßiger Polygone
• http://www.konradlischka.de/nhproben285.htm - In siebzig Millionen Polygonen um die Welt
• http://web.informatik.uni-bonn.de/I/GeomLab/VisPolygon/ - Sichtbarkeit in einfachen Polygonen
• http://www.gris.uni-tuebingen.de/projects/grdev/doc/html/german/1.3.3.html - Rasterung von Polygonen