Platonischer Körper

Nach Platon (* ca. 428; † 347 v. Chr.) benannte Gruppe von 5 regelmäßig geformten 3-dimensionalen Körpern. Mathematiker sprechen auch von den fünf einzig möglichen Polyedern (Vielflächer), deren Begrenzungsflächen kongruente (regelmäßige) Vielecke sind, und deren Ecken alle die gleiche Zahlen angrenzender Flächen und Kanten haben. Zusätzlich sind alle Kanten gleich lang, woraus sich ergibt, dass die Flächen symmetrisch sind. Diese regelmäßigen Polyeder wurden in Platons Akademie intensiv untersucht und ihnen dort auch zugesprochen die Elemente zu repräsentieren. Darüber hinaus gibt es noch die 14 so genannten semiregulären oder Archimedischen Körper. Sie bestehen allesamt auch aus regelmäßigen Vielecken, jedoch mit unterschiedlichen Eckenzahlen, und die einzelnen Polyederecken müssen durch Symmetrieabbildungen aufeinander abgebildet werden können.

Alle fünf platonischen Körper sind derartig gleichmäßig, dass man sie in das geometrische Zentrum von Sphären (Kugeln) verschiedener Größen bringen kann, so dass entweder alle Eckpunkte, alle Kantenmittelpunkte oder alle Flächenzentren auf der Kugeloberfläche liegen.

Warum die Anzahl der platonischen Körper endlich ist

Jede Ecke eines konvexen Polyeders zeigt "nach außen", das heißt es gibt eine Ebene durch diese Ecke, so dass das gesamte restliche Polyeder auf einer Seite der Ebene liegt. Deshalb ist die Summe der Innenwinkel der an einer Ecke aufeinander treffenden Flächen kleiner als 360°.

An jeder Ecke eines Polyeders treffen sich mindestens drei Flächen. Weil die Summe der Winkel kleiner als 360° ist, kommen an den Ecken eines platonischen Körpers höchstens 3 bis 5 Dreiecke, 3 Vierecken oder 3 Fünfecke zusammen. Andere Kombinationen wie etwa 6 Dreiecke, 4 Vierecke oder 3 Sechsecke ergeben genau 360° und 4 Fünfecke überschreiten diesen Winkel. Die 5 möglichen Kombinationen bilden die 5 platonischen Körper.

Tetraeder

• Das Tetraeder ist zu sich selbst dual.

Tetraeder (4 Ecken, 6 Kanten, 4 Dreiecke als Flächen)

Hexaeder und Oktaeder

• Hexaeder und Oktaeder stehen in Zusammenhang miteinander. Das zeigt sich darin, dass beide zu dem Kuboktaeder und zu dem Rhombendodekaeder, welches der Dual-Archimedische Körper zu dem Kuboktaeder ist, führen. Hexaeder und Oktaeder sind zueinander dual, das bedeutet, dass an der Stelle, an der der Hexaeder seine Flächen hat, die Ecken des Oktaeder liegen, und umgekehrt. Daraus folgt auch die identische Anzahl der Kanten und die vertauschte Anzahl der Flächen und Ecken.

Hexaeder

• Hexaeder oder Kubus oder Würfel (8 Ecken, 12 Kanten, 6 Quadrate als Flächen)

• Das Hexaeder gehört auch zu den Prismen, mit einer ähnlichen Sonderstellung, wie es das Tetraeder zu den Pyramiden besitzt.
• Das Hexaeder lässt sich so in zwei Teile zerlegen, dass sich als Schnittfläche ein regelmäßges Sechseck ergibt. Der Schnitt erfolgt dabei entlang der Symmetrieebene zweier gegenüber liegender Ecken.

Oktaeder

• Oktaeder (6 Ecken, 12 Kanten, 8 gleichseitige Dreiecke als Flächen)

Dodekaeder und Ikosaeder

Wie Hexaeder und Oktaeder stehen auch Dodekaeder und Ikosaeder in enger Beziehung zueinander. Ihre gemeinsamen Archimedischen Körper sind der Europafußball und der zu diesem duale Rhombentriakontaeder. Wie Hexaeder und Oktaeder sind auch Dodekaeder und Ikosaeder zueinander dual.

Dodekaeder

• Dodekaeder (20 Ecken, 30 Kanten, 12 regelmäßige Fünfecke als Flächen)

Ikosaeder

• Ikosaeder (12 Ecken, 30 Kanten, 20 gleichseitige Dreiecke als Flächen)

Der Eulersche Polyedersatz stellt die Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten zueinander in Bezug:

Flächen + Ecken = Kanten + 2

Diese Formel gilt für alle konvexen und viele andere Polyeder, nicht nur für die platonischen Körper.

Tetraeder, Würfel und Oktaeder kommen in der Natur als Kristalle vor; ikosaedrische Symmetrieelemente finden sich in Quasikristallen.

Die Körper wurden im antiken Griechenland den Elementen zugeordnet: Feuer: Tetraeder, Wasser: Ikosaeder, Luft: Oktaeder, Erde: Würfel, Geist / Quintessenz oder Äther: (Dodekaeder).

Jeder platonische Körper hat eine Inkugel, die alle seine Flächen berührt, und eine Umkugel, auf der alle seine Ecken liegen. Johannes Kepler gelang es 1596, die Bahnradien der damals sechs bekannten Planeten durch eine bestimmte Abfolge der fünf Körper und ihrer Innen- und Außenkugeln darzustellen. Bei der Suche nach solchen Harmonien entdeckte er auch zwei regelmäßige Sternkörper.

Eine eher moderne Anwendung finden die platonischen Körper als Würfel im Fantasy-Rollenspiel.

Die hohe Symmetrie der platonischen Körper kommt auch in ihren Punktgruppen zum Ausdruck: siehe Tetraedergruppe, Ikosaedergruppe.

Weblinks

• http://www.walter-fendt.de/m11d/platon.htm - Grafische Verdeutlichung anhand eines Java-Applets
• http://www.saar.de/~luci/Raumzahl/PlatonischesMobile.html
• Platonische Körper aus Flechtstreifen