P-adische Zahl

Für jede Primzahl p bilden die p-adischen Zahlen einen Erweiterungskörper Q_p der rationalen Zahlen, der 1897 erstmals von Kurt Hensel beschrieben wurde.

Diese Körper wurden und werden benutzt, um Probleme in der Zahlentheorie zu lösen, oftmals unter Verwendung des lokal-global-Prinzips von Helmut Hasse, welches vereinfacht gesprochen aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen Q gelöst werden kann, wenn sie über den reellen Zahlen R und allen Q_p gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist Q_p vollständig, und erlaubt so die Entwicklung einer p-adischen Analysis analog zur reellen Analysis.

Motivation

Ist p eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede ganze Zahl geschrieben werden in einer p-adischen Entwicklung (man sagt, die Zahl wird "zur Basis p geschrieben", siehe auch Stellenwertsystem) der Form

(1)

wobei die a_i Zahlen aus

sind.

Zum Beispiel ist die 2-adische Entwicklung gerade die Binärdarstellung, und 35 hat die Darstellung

die oft mit 100011₂ abgekürzt wird.

Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Zulassung unendlicher Summen dieser Form:

(2)

Diese Reihen sind konvergente Partialsummenfolgen bezüglich des gewöhnlichen Absolutbetrags. Man kann dann zum Beispiel 1/3 zur Basis 5 darstellen als Grenzwert der Reihe 0,13131313...₅. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die a_i=0 ist für alle.

Alternativ könnte man die Summen am anderen Ende ins Unendliche verlängern, und Reihen dieser Form erhalten:

Anschaulich besteht also die gewöhnliche p-adische Entwicklung aus Summen, die sich nach rechts fortsetzen mit immer kleineren (negativen) Potenzen von p, und die p-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links fortsetzen mit immer größeren p-Potenzen.

Mit diesen "formalen Laurentreihen in p" kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen p-adischen Entwicklungen reeller Zahlen:

Addition von rechts nach links mit Übertrag, Multiplikation nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von.._.44444₅ und 1₅ die Zahl 0₅. Das fehlende Vorzeichen ist also tatsächlich nicht nötig, da auch alle negativen Zahlen eine p-adische Darstellung haben. Damit lässt sich auch die Subtraktion nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Borgen (man versuche es bei 0₅-1₅=...4444₅).

Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht "aufgeht".

Ein technisches Problem ist nun, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt.

Konstruktion

Analytische Konstruktion

Die reellen Zahlen können konstruiert werden als

Vervollständigung der rationalen Zahlen.

Sie werden dabei aufgefasst als Äquivalenzklassen von rationalen Cauchy-Folgen. Dies erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl 1 als 1,000... zu schreiben, oder als 0,999... - es ist 1,000... = 0,999... in R.

Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten Metrik ab, und indem man statt der üblichen euklidischen Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, eine andere Metrik benutzt, erhält man andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen.

p-adischer Betrag

Für eine fest vorgegebene Primzahl p definieren wir den

p-adischen Betrag auf Q:

Jede rationale Zahl x außer 0 lässt sich schreiben als

Zum Beispiel ist x=63/550=

,

damit ist

für jede andere Primzahl p

Durch diese Definition des Betrags

p-adische Metrik

Die p-adische Metrik

Damit ist beispielsweise die Folge

Die Vervollständigung des metrischen Raums (Q,d_p)

ist der metrische Raum Q_p der p-adischen Zahlen, er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent heißen, wenn die Folge ihrer punktweisen p-adischen Abstände eine Nullfolge ist. Auf diese Weise erhalten wir einen vollständigen metrischen Raum, der (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-äquivalenzklassen) außerdem ein Körper ist, in dem Q enthalten ist.

Da die so definierte Metrik eine Ultrametrik ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form

Algebraische Konstruktion

Hier wird zuerst der Ring der p-adischen ganzen Zahlen definiert, und danach dessen Quotientenkörper Q_p.

Wir definieren Z_p als projektiven Limes der Ringe Z/pⁿZ (siehe Kongruenz (Zahlentheorie)): Eine p-adische ganze Zahl ist dann eine Folge

Jede ganze Zahl m definiert eine Folge

und kann daher als Element von Z_p aufgefasst werden.

Zum Beispiele sähe 35 in Z₂ so aus:

Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation ist wohldefiniert, da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar ist. Damit hat jede p-adische ganze Zahl

die negative Zahl

Jede p-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form (3) dargestellt werden, dabei sind die Partialsummen gerade die Komponenten der Folge. Zum Beispiel kann man die 3-adische Folge

auch schreiben als

Der Ring der p-adischen ganzen Zahlen ist nullteilerfrei, deshalb können wir den Quotientenkörper bilden und erhalten Q_p, den Körper der p-adischen Zahlen. Jedes Element dieses Körpers kann man darstellen in der Form

Eigenschaften

Die Menge Q_p der p-adischen Zahlen ist überabzählbar.

Die p-adischen Zahlen enthalten Q und bilden einen Körper der Charakteristik 0. Dieser Körper kann nicht angeordnet werden.

Der topologische Raum Z_p der p-adischen ganzen Zahlen ist kompakt, der Raum aller p-adischen Zahlen ist lokal kompakt. Als metrische Räume sind beide vollständig.

Die reellen Zahlen haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, die komplexen Zahlen, bereits die Adjunktion einer Quadratwurzel ist algebraisch abgeschlossen.

Im Gegensatz dazu hat der algebraische Abschluss von Q_p einen unendlichen Erweiterungsgrad. Q_p hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen.

(Nebenbei ist der algebraische Abschluss von Q_p nicht vollständig und kann vervollständigt werden zum Körper C_p, der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht.)

Die übliche Definition der e-Funktion

konvergiert für alle x mit

Dieser Konvergenzkreis gilt sogar für alle Erweiterungen von

Q_p.

Damit liegt die Eulersche Zahl

aber

in Q₂ liegt

Funktionen von R nach R mit Ableitung 0 sind konstant. Für Funktionen von Q_p nach Q_p gilt dieser Satz nicht, zum Beispiel hat die Funktion

f: Q_p → Q_p, f(x) = (1/|x|_p)² für x≠0, f(0) = 0,

auf ganz Q_p die Ableitung 0, ist aber nicht einmal lokal konstant in 0. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in 0 ist

Sind

Elemente von