Offene Menge

In dem Teilgebiet Topologie der Mathematik ist eine offene Menge eine Menge mit einer weiter unten genau definierten Eigenschaft. Anschaulich ist eine Menge offen, wenn ihre Elemente nur von Elementen dieser Menge umgeben sind, mit anderen Worten, wenn kein Element der Menge auf ihrem Rand liegt.

Ein einfaches Beispiel ist das Intervall (0, 1) in den reellen Zahlen. Jede reelle Zahl x mit der Eigenschaft 0 < x < 1 ist nur von Zahlen mit derselben Eigenschaft umgeben: Wähle als Umgebung die Menge (x/2, 1/2 + x/2), dann sind das Zahlen zwischen 0 und 1. Deshalb nennt man das Intervall (0, 1) ein offenes Intervall. Dagegen ist das Intervall (0, 1] nicht offen, denn "rechts" vom Element 1 (größer als 1) ist kein Element des Intervalls (0, 1] mehr.

Ob eine Menge offen ist oder nicht, hängt von dem Raum ab, in dem sie liegt. Die rationalen Zahlen x mit 0 < x < 1 bilden eine offene Menge in den rationalen Zahlen, aber nicht in den reellen Zahlen.

Beachte, dass der Begriff "abgeschlossene Menge" nicht das Gegenteil von "offene Menge" ist. Es gibt Mengen, die weder abgeschlossen noch offen sind, wie das Intervall (0, 1], und Mengen, die beides sind, wie die leere Menge. (Solche Mengen, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind werden als abgeschlossene offene Menge oder nach dem englischen Begriff als clopen Menge bezeichnet, seltener als abgeschloffen.)

Der Begriff der offenen Menge lässt sich auf verschiedenen Abstraktionsstufen definieren. Wir gehen hier vom anschaulichen euklidischen Raum über den metrischen Raum zum allgemeinsten Kontext, dem topologischen Raum.

Euklidischer Raum

Definition

Ist U eine Teilmenge des n-dimensionalen euklidischen Raums Rⁿ, dann nennt man U offen, falls gilt:

Für jedes x aus U gibt es eine reelle Zahl ε > 0, so dass jeder Punkt y des Rⁿ, dessen Abstand zu x kleiner ist als ε, in U liegt.

Erläuterung

Beachte, dass das ε vom Punkt x abhängt, d.h. für verschiedene Punkte gibt es verschiedene ε. Anschaulich ist die Menge der Punkte, deren Abstand von x kleiner ist als ε, eine Kugel, und zwar nur das Innere ohne die Oberfläche. Man nennt sie deshalb auch eine offene Kugel. (Im R² ist diese Kugel das Innere eines Kreises.) Diese Kugel ist die in der Einleitung angesprochene Umgebung von Punkten aus U.

Hier sollte noch ein Bild aus dem R^2 zur Veranschaulichung hin...

Metrischer Raum

Definition

Sei (X,d) ein metrischer Raum und U eine Teilmenge von X. Dann nennt man U offen, wenn gilt:

Für jedes x aus U gibt es eine reelle Zahl ε > 0, so dass für jeden Punkt y aus X gilt: Aus d(x,y) < ε folgt, dass y in U liegt.

Auch hier hängt die Wahl von ε von x ab.

Offene Kugel

In Analogie zum euklidischen Raum nennt man die Menge der Punkte y, deren Abstand d(x,y) zu x kleiner als ε ist, eine offene Kugel. Formal schreibt man

B(x,r) := {y in X | d(x,y) < r}

und nennt diese Menge die offene Kugel in X mit Mittelpunkt x und reellem Radius r>0.

Bei der offenen Kugel wird der Rand bzw. die Hülle der Kugel nicht mit einbezogen: Alle y der Grundmenge X die zum Mittelpunkt x einen kleineren Abstand als den Radius r haben, gehören zur Kugel. (Beachte die im Artikel normierter Raum gegebenen Beispiele, dass eine Kugel bezüglich einer Metrik nicht immer "kugelförmig" bzw. "kreisförmig" ist.)

Die Definition einer offenen Menge läßt sich nun so schreiben:

Sei (X,d) ein metrischer Raum. Dann heißt eine Teilmenge U von X offen, falls gilt:

Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der Definition für euklidische Räume, denn jeder euklidische Raum ist ein metrischer Raum, und für euklidische Räume stimmen die Definitionen überein.

Beispiele

Betrachtet man die reellen Zahlen R mit der üblichen euklidischen Metrik, so sind die folgenden Beispiele offene Mengen:

• Das oben genannte offene Intervall (0,1), das sind alle Zahlen zwischen 0 und 1 ausschließlich. Dieses Intervall ist auch ein Beispiel für eine offene Kugel in R.
• R selber ist offen.
• Die leere Menge ist offen.
• Die Menge Q der rationalen Zahlen ist offen in Q, aber nicht offen in R.
• Das Intervall (0, π ] ist nicht offen in R, die Menge aller rationalen Zahlen x mit 0 < x ≤ π ist dagegen offen in Q.

Im R² kann man sich offene Mengen vorstellen als Mengen, bei denen man den Rand weggelassen hat.

Eigenschaften

Jede offene Kugel ist eine offene Menge. Der Beweis dazu wird veranschaulicht von nachfolgender Abbildung: Zum Punkt y₁ der offenen Kugel B(x, r) findet man ein ε₁, nämlich ε₁ = r - d(x, y₁), so dass B(y₁, ε₁) ganz in B(x, r) liegt. Analog sieht man an dieser Darstellung, dass jede abgeschlossene Kugel abgeschlossen ist.

Der Durchschnitt von zwei offenen Mengen ist wieder eine offene Menge. Daraus kann man folgern, dass der Schnitt endlich vieler offener Mengen offen ist.

Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen.

Topologischer Raum

Die offenen Kugeln in metrischen Räumen sind die einfachsten Beispiele von Umgebungen in der Topologie. Um offene Mengen in einem noch allgemeineren Kontext zu definieren, muss man das Konzept der Kugel fallen lassen.

Bei der Definition eines topologischen Raumes X ist "Offenheit" ein grundlegender Begriff, der nur durch seine Eigenschaften erklärt wird.

Definition

Wenn T eine Familie von Teilmengen von X ist, mit den folgenden Eigenschaften:

Die leere Menge und die Grundmenge X sind Elemente von T,

jede Vereinigung von Elementen von T ist selbst Element von T,

der Schnitt endlich vieler Elemente von T ist Element von T,

dann nennt man T eine Topologie auf X, und die Elemente von T heißen offene Mengen des topologischen Raums (X, T).

Diese Definition ist eine Verallgemeinerung der Definition für metrische Räume:

Die Familie T aller offener Mengen eines metrischen Raums (X, d) ist eine Topologie, so dass (X, T) ein topologischer Raum ist.

Verwendung des Begriffs "Offene Menge": Inneres, Stetigkeit

Jede Teilmenge A eines topologischen (oder metrischen) Raumes X enthält eine (möglicherweise leere) offene Menge. Die größte offene Teilmenge von A nennt man das Innere von A; man erhält es z.B. als Vereinigung aller offener Teilmengen von A. Beachte, dass die Teilmengen offen in X sein müssen, nicht nur offen in A. (A selbst ist stets offen in A.)

Sind zwei topologische Räume X und Y gegeben, dann ist eine Funktion f von X nach Y stetig, falls jedes Urbild einer offenen Teilmenge von Y offen in X ist. Die Funktion f heißt offene Funktion, wenn das Bild jeder offenen Menge offen ist.