Normierter Raum

Der mathematische Begriff der Norm ist die Verallgemeinerung des geometrischen Begriffs der Länge eines Vektors. Eine Norm ist eine Funktion, die jedem Element eines Vektorraums eine reelle, nichtnegative Zahl zuordnet und eine Reihe weiterer Eigenschaften erfüllt.

Ein normierter Vektorraum oder kurz normierter Raum ist ein Vektorraum, auf dem eine Norm definiert ist.

Formale Definition

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K der reellen oder komplexen Zahlen. Funktion ||·||: V → R heißt Norm auf V, wenn für alle Vektoren x,y aus V und alle Skalare α aus K die folgenden axiomatische Bedingungen erfüllt sind:

• (i) ||x|| ≥ 0 (Positivität);
• (ii) ||x|| = 0 ⇒ x = 0 (Definitheit);
• (iii) ||α·x|| = |α|·||x|| (Homogenität);
• (iv) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (die Dreiecksungleichung).

Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter Vektorraum oder normierter Raum.

Bemerkungen:

• Aus Bedingung (iii) folgt ||0||=0 (weshalb man in (ii) auch ⇔ statt ⇒ schreiben könnte) und ||-x||=||x||.
• Wenn auf die Definitheit (Axiom ii) verzichtet wird, dann ist ||·|| nur eine Halbnorm (auch: Pseudonorm). Aus einem Raum mit Halbnorm erhält man einen normierten Raum als Faktorraum.

Einordnung

Jede Norm induziert eine Metrik

d(x, y) := ||x - y||.

Damit ist jeder normierte Raum auch ein metrischer Raum, und damit auch ein topologischer Raum und ein Hausdorff-Raum.

Eine Norm kann, muss aber nicht durch ein inneres Produkt (Skalarprodukt) <·,·> definiert sein. Jeder Innenproduktraum ist mit

||x|| := √<x,x>

ein normierter Raum.

Ein normierter Raum heißt vollständig, wenn in ihm jede Cauchyfolge konvergiert (das schließt ein, dass der Grenzwert der Cauchyfolge sich in diesem Raum befindet). Ein vollständiger normierter Raum heißt Banachraum, und ein vollständiger normierter Innenproduktraum heißt Hilbertraum.

Betragsnormen

Normen auf Körpern (siehe z.B. p-adische Zahlen) sind die absoluten Beträge.

Vektornormen

p-Normen

Für endlichdimensionale Räume sind die so genannten p-Normen definiert als:

Dabei ist p eine reelle Zahl größergleich 1, n ist die Dimension des Vektorraums und |x_i| der Absolutbetrag der i-ten Vektor-Komponente. Die aus diesen Normen abgeleiteten Metriken heißen auch Minkowski-Metriken.

Zur Veranschaulichung betrachten wir zweidimensionale Vektoren r=(x,y). Die Menge aller r mit ||r||=1 bildet einen verallgemeinerten Einheitskreis. Mit den Normen zu p=1, p=2 und p=∞ ergeben sich in einem kartesischen Koordinatensystem die Graphen:

Die 1-Norm

• ||(x,y)||₁ = |x| + |y|

heißt auch Betragssummennorm; die von ihr abgeleitete Metrik heißt auch Manhatten-Metrik (da sie den Abstand zweier Punkte wie die Fahrtstrecke in Schachbrett-Stadtplan misst).

Nur in der 2-Norm

• ||(x,y)||₂ = √(x² + y²)

entspricht der verallgemeinerte Einheitskreis dem, was man sich im gewöhnlichen Sprachgebrauch unter einem Kreis vorstellt. In diesem gilt die allgemeine Kreisgleichung x² + y² = r². Die von ||·||₂ definierte Metrik d₂ entspricht dem Abstand zweier Punkte in der Euklidischen Ebene. Die 2-Norm wird deshalb auch Euklidische Norm genannt und ein Vektorraum mit der 2-Norm heißt Euklidischer Raum.

Die Norm zu p=∞

• ||(x,y)||_∞ = max{|x|,|y|}

heißt auch Maximumsnorm.

l_p-Normen

Die "l_p-Normen" sind eine Verallgemeinerung der p-Normen auf spezielle unendlichdimensionale Vektorräume.

Betrachte die Menge R^N aller reellen Zahlenfolgen. Für eine reelle Zahl p ≥ 1 bzw. das Symbol p = ∞ betrachten wir die Teilmenge

aller "in p-ter Potenz summierbaren Folgen" bzw. aller beschränkten Folgen. Dies sind R-Vektorräume.

Auf diesen Mengen definiert man die so genannte l_p-Norm:

Mit diesen Normen werden die l_p zu (vollständigen?) normierten Räumen.

L_p-Normen

Die Definition der L_p-Räume und -Normen wird hier nur kurz angerissen, ausführlichere Informationen dazu im Artikel Lp-Raum.

Analog zu den Folgenräumen kann man den Vektorraum der Funktionen von R nach R betrachten, und darin die "in p-ter Potenz integrierbaren Funktionen" herausgreifen, für die man so genannte L_p-Normen definiert.

Das ist jedoch erstmal nur eine Pseudonorm, da ||f|| = 0 nicht ausschließlich für die Nullfunktion gilt. Man geht deshalb über zu einem Faktorraum (den man L_p nennt), auf dem die L_p-Norm dann eine Norm ist.

Operatornormen

Für einen Operator f wird seine Operatornorm (anschaulich der größtmögliche Streckungsfaktor) bezüglich einer Vektornorm folgendermaßen definiert:

Matrixnormen

Für reelle oder komplexe Matrizen kann man die Operatornormen der entsprechenden linearen Abbildungen Ax für einige Vektornormen (hier die 1, 2 und Maximumsnorm) explizit angeben.

Matrixnormen haben einige nützliche Eigenschaften, so ist beispielsweise der Spektralradius einer Matrix (der betragsgrößte Eigenwert) immer kleiner als ihre Norm, unabhängig davon, welche Norm gewählt wurde. Sie werden insbesondere in der numerischen Mathematik benutzt. Zusätzlich zu den oben genannten Normaxiomen erfüllen Matrixnormen immer die multiplikative Dreiecksungleichung:

Es ist möglich, Abbildungen auf dem Matrizenraum zu definieren, die die Normeigenschaften sowie die multiplikative Dreiecksungleichung erfüllen, jedoch nicht eine von einer Vektornorm herrührende Operatornorm sind. Die bekannteste von diesen ist die Frobeniusnorm: