Natürliche Zahl

Natürliche Zahlen sind die dem mathematischen Laien wohl vertrautesten Zahlen. Die Menge der natürlichen Zahlen enthält schlicht die Zahlen 0, 1, 2, 3,_...; also die nichtnegativen ganzen Zahlen.

Oftmals wird die Menge der natürlichen Zahlen aus historischen Gründen ohne die Null definiert, denn ihre Einführung war eine der ersten großen mathematischen Leistungen. Für eine formale Definition der Menge der natürlichen Zahlen und der zugehörigen Rechenregeln ist es aber sinnvoll, auch die Null als natürliche Zahl zu bezeichnen.

Die natürlichen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen

Die Einführung der natürlichen Zahlen mit Hilfe der Peano-Axiome ist eine Möglichkeit, die Theorie der natürlichen Zahlen zu begründen. Dieser Weg wird im nächsten Abschnitt beschritten.

Als Alternative kann man bei den reellen Zahlen axiomatisch einsteigen und die natürlichen Zahlen als Teilmenge von R definieren. Dazu benötigt man zunächst den Begriff einer induktiven Menge.

Eine Menge M heißt induktiv, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• 1. 0 ist Element von M
• 2. Ist x Element von M, so ist auch x+1 Element von M

Dann ist

Peano-Axiome

Es folgt eine Definition der Axiome der natürlichen Zahlen, die erstmals 1889 von Giuseppe Peano angegeben wurde. Diese Axiome werden Peano-Axiome genannt.

• 1. N ist eine induktive Menge
• 2. 0 ist kein Nachfolger irgendeiner natürlichen Zahl.
• 3. Sind zwei natürliche Zahlen verschieden, d.h. n ≠ m, dann haben sie verschiedene Nachfolger, also n+1 ≠ m+1
• 4. Gilt für eine Menge X: 0 ∈ X und für jedes n ∈ X ist auch n+1 ∈ X, so enthält X alle natürlichen Zahlen. (Ist X dabei selbst Teilmenge der natürlichen Zahlen, dann ist X gleich der Menge der natürlichen Zahlen.)

Das erste Axiom zeigt deutlich die enge Verwandtschaft mit der obigen Definition der natürlichen Zahlen als Teilmenge von R. Das letzte Axiom nennt man auch das Induktions-Axiom, es bildet die Grundlage für die Beweismethode der vollständigen Induktion. Peano selbst begann die natürlichen Zahlen in seinen Axiomen mit der 1 statt mit der 0 (laut dem Artikel auf [1]).

Die Peano-Axiome bilden ein Axiomensystem der Prädikatenlogik zweiter Stufe, da neben Variablen für Zahlen im Induktionsaxiom auch die Mengenvariable X vorkommt. Ersetzt man dieses Axiom durch die entsprechenden unendlich vielen Axiome erster Stufe, so gelangt man zur Peano-Arithmetik.

Ein Modell der natürlichen Zahlen

Peano beschrieb mit seinem Axiom-System zwar die Eigenschaften von natürlichen Zahlen, er bewies aber nicht deren Existenz. Erst John von Neumann lieferte ein Beispiel für ein Modell der natürlichen Zahlen, indem er sie aus der leeren Menge her aufbaute:

.

.

.

Zur Erklärung: Eins ist die Menge, die nur die leere Menge (=

Für die Menge der natürlichen Zahlen wird das Symbol N (fett dargestellt) verwendet. Weil dies handschriftlich nur schwer darstellbar ist, schreibt man dann ein "Doppelstrich-N". Mit der Zeit hat sich das Symbol N als Symbol für die natürlichen Zahlen (und ebenso die anderen Doppelstrich-Buchstaben für die anderen Zahlenbereiche) auch im Drucksatz durchgesetzt.

Da nicht überall die 0 als ein Element der natürlichen Zahlen angesehen wird, ist es sinnvoll, von positiven (1, 2, 3,_...) und nicht-negativen (0, 1, 2,_...) ganzen Zahlen zu sprechen.

In Texten, in denen die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null als

geschrieben, wenn die Null explizit ausgeschlossen werden soll.

Die Primzahlen stellen die multiplikativen Grundbausteine der natürlichen Zahlen dar: Jede natürliche Zahl außer der 0 lässt sich auf genau eine Art als Multiplikation von Primzahlen zusammensetzen.

Die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist dabei die Aussage des Fundamentalsatz der Arithmetik.

Die 1 ist keine Primzahl; ihre Primfaktorzerlegung ist das leere Produkt mit 0 Faktoren, welches definitionsgemäß den Wert 1 hat.

Verwandte Themen

• Zahlenbereiche
• Ganze Zahlen
• Rationale Zahlen
• Reelle Zahlen
• Komplexe Zahlen
• Ordinalzahlen
• Zahlensystem
• Liste besonderer Zahlen

siehe auch

• Zahlentheorie
• Dyskalkulie