Morphismus

In der Kategorientheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) betrachtet man so genannte Kategorien, die aus einer Vielzahl von Objekten und Morphismen bestehen. Oft sind die Objekte bestimmte Mengen und die Morphismen bestimmte Abbildungen zwischen diesen Mengen, aber das ist nicht bei allen Kategorien so.

Eine Kategorie ist also gegeben durch zwei Daten: Eine Klasse von Objekten und für je zwei Objekte X und Y einen Morphismus von X nach Y. Man schreibt Morphismen als Pfeile f: X -> Y. Die Morphismen müssen bestimmte Bedingungen erfüllen, die im Artikel Kategorientheorie genannt werden.

Im Fall einer konkreten Kategorie sind X und Y bestimmte Mengen und ein Morphismus f ist eine Funktion f: X -> Y, die bestimmte Bedingungen erfüllt. Es ist aber nicht jede Kategorie automatisch konkret, also ist das nicht die unbedingt einzige Art von Morphismen.

Beispiele

Beispiele von Morphismen sind Homomorphismen der Kategorien, die in der universellen Algebra studiert werden (z.B. Gruppen oder Ringen), stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen, differenzierbare Funktionen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

Typen von Morphismen

• Jedes Objekt X in jeder Kategorie hat einen identischen Morphismus, geschrieben id_X, der ein neutrales Element der Komposition ist.
• Wenn ein Morphismus f eine rechte Inverse besitzt, d.h. wenn es einen Morphismus g mit f o g = id gibt, dann heißt f Retraktion. Analog bezeichnet man mit Schnitt einen Morphismus, der eine linke Inverse besitzt.
• Ist f sowohl eine Retraktion als auch eine Sektion, dann heißt f Isomorphismus. In dem Fall können die Objekte X und Y als völlig gleichartig innerhalb ihrer Kategorie betrachtet werden.
• Ein Morphismus von X nach X heißt Endomorphismus von X.
• Ein Endomorphismus, der gleichzeitig ein Isomorphismus ist, heißt Automorphismus.
• Ein Morphismus f: X -> Y mit folgender Eigenschaft heißt Epimorphismus:

  Sind g, h: Y -> Z beliebige Morphismen mit g o f = h o f, dann ist stets g = h.

• Ein Morphismus f: X -> Y mit folgender Eigenschaft heißt Monomorphismus:

  Sind g, h: W -> X beliebige Morphismen mit f o g = f o h, dann ist stets g = h.

• Ist f sowohl ein Epimorphismus als auch ein Monomorphismus, dann ist f ein Bimorphismus. Beachte dass nicht jeder Bimorphismus ein Isomorphismus ist. Es ist jedoch jeder Morphismus ein Isomorphismus, der Epimorphismus und Sektion, oder Monomorphismus und Retraktion ist.

  Ein Beispiel für einen Bimorphismus, der kein Isomorphismus ist, liefert die Einbettung der Ganzen Zahlen in die Rationalen Zahlen als Homomorphismus von Ringen.

• Ein Homöomorphismus ist ein Isomorphismus zwischen topologischen Räumen.
• Ein Diffeomorphismus ist ein Isomorphismus zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.