Monotonie (Mathematik)

Eine Funktion oder Folge, die nur größer wird oder konstant ist (und niemals fällt), heißt monoton steigend (oder monoton wachsend).

Entsprechend heißt eine Funktion oder Folge monoton fallend, wenn sie nur kleiner wird oder konstant bleibt.

Streng monoton steigend bzw. streng monoton fallend sind Funktionen oder Folgen, die nur größer oder kleiner werden, jedoch nicht konstant sind.

Definitionen

Sei f: A → B eine Funktion. Auf A und B gebe es eine Ordnungsrelation "≤". Dann heißt die Funktion monoton steigend, wenn

∀ a,b ∈ A: a ≤ b ⇒ f(a) ≤ f(b).

Gilt das auch für "<" (a < b :⇔ a ≤ b ∧ a ≠ b), so heißt die Funktion streng monoton steigend.

Entsprechend gilt natürlich für ≥ und > monoton fallend bzw. streng monoton fallend.

Eine Folge ist streng monoton steigend, wenn für alle n gilt: a_n+1 > a_n.

Weitere Eigenschaften

Für monotone Funktionen gilt:

• Sie haben überall in ihrem Definitionsbereich einen linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.
• Sie können nur Sprünge als Unstetigkeiten haben.
• Die Anzahl der Sprünge in ihrem Definitionsbereich ist endlich.
• Sie sind fast überall stetig differenzierbar.
• Eine im Intervall [a,b] definierte monotone Funktion ist Riemann-integrierbar.