Die Mengenlehre ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches sich mit den Eigenschaften von Mengen beschäftigt. Sie ist die Grundlage der modernen Mathematik und bietet ein einheitliches Grundgerüst für zahlreiche Disziplinen wie Algebra, Analysis, Stochastik oder Topologie. Darüberhinaus ist sie von zentraler Bedeutung für die Aussagenlogik.
Die Mengenlehre geht zurück auf Georg Cantor. Nach seiner Definition ist eine Menge "eine Zusammenfassung von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen". Die von Cantor eingeführte naive Mengenlehre führte jedoch schon bald zu unlösbaren Widersprüchen (Russellsche Antinomie).
Die axiomatische Mengenlehre (Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) verzichtet deshalb auf eine Definition der Menge und benutzt ihn als Grundbegriff. Eine Menge wird durch die Angabe aller Elemente bzw. ihrer Grundeigenschaften festgelegt. Die einzige Grundrelation ist
(gesprochen Element von), z. B. x
M, wenn x als Element in M enthalten ist. In vielen Artikeln dieser Enzyklopädie verwenden wir die Schreibweise "x in M" oder "x aus M", manchmal auch das HTML-Zeichen ∈, welches jedoch von manchen Browsern nicht korrekt dargestellt wird.
Eine alternative Mengentheorie kann man aufbauend auf der Kategorientheorie mit Hilfe von Topoi definieren.
In den 1970er Jahren wurde die Mengenlehre in die Grundschulen eingeführt, nach wenigen Jahren aber zugunsten des traditionellen Rechenunterrichts wieder abgeschafft. Siehe dazu den Artikel "Neue Mathematik".
Definitionen
Seien
beliebige Teilmengen der Menge X.
Teilmenge (auch Inklusion):
(B ist Teilmenge von A), wenn jedes Element von B auch Element von A ist, d.h. B ist enthalten in oder gleich A. In Zeichen:
Üblich ist auch die Schreibweise
Echte Teilmenge:
(B ist echte Teilmenge von A), wenn die Menge B enthalten in und ungleichA ist. Bsp.:
Um Missverständnisse, die durch gelegentliche unterschiedliche Definitionen des Begriffs Teilmenge entstehen, sicher auszuschließen, ist auch die Schreibweise
gebräuchlich.
Schnittmenge:
(A geschnitten mit B) ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.
Vereinigungsmenge:
(A vereinigt mit B) ist die Menge der Elemente, die in A oder in B oder beiden Mengen liegen.
Komplement von A in X:
die Menge aller Elemente, die nicht in A liegen.
Wird auch als
,_ AC oder A' geschrieben.
Differenzmenge:
(A ohne B) ist die Menge aller Elemente, die in A enthalten sind, aber nicht in B
symmetrische Differenz:
ist die Menge aller Elemente, die in einer aber nicht in beiden der gegebenen Mengen liegen
Leere Menge: Die leere Menge enthält kein Element und wird mit
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