Die vier Maxwellschen Gleichungen beschreiben die elektromagnetischen Felder und ihre zeitliche Abhängigkeit vollständig in sowohl differentieller als auch integraler Form.
Die Quellen elektromagnetischer Felder sind elektrische Ladungen und Ströme. Aus ihnen resultieren zeitabhängige elektrische und magnetische Felder. Die Maxwellschen Gleichungen beschreiben somit die Ursache, die Wirkung, die Wechselwirkungen und die zeitliche Abhängigkeit dieser Felder. Sie sind die Grundlage der Elektrodynamik und der Theoretischen Elektrotechnik.
Übersicht
Um die folgenden Gleichungen verstehen zu können, sollten sowohl der Begriff Differentialoperator als auch seine Bedeutung bekannt sein. Die Maxwellschen Gleichungen lassen sich mit dem Satz von Stokes und Gauß sowohl in differentieller als auch in integraler Schreibweise formulieren:
Diese Gleichungen können, für verschiedene Sonderfälle vereinfacht werden. Für den Stationären Fall braucht man beispielsweise keine zeitabhängigen Terme zu berücksichtigen.
Erläuterungen
Die Übersicht ist in drei Abschnitte aufgeteilt: Statische, dynamische und ladungsfreie Felder.
Die eigentlichen Maxwellgleichungen sind die gelb hinterlegten. Alle anderen Formeln können einfach aus den anderen abgeleitet werden.
Bei den statischen Maxwellgleichungen verschwinden alle nach der Zeit abgeleiteten Terme.
Bei den Maxwellgleichungen für den ladungsfreien Raum ist sowohl Q=0 als auch I=0.
Die jeweils erste der beiden Zeilen gibt Auskunft darüber, ob es quellen gibt.
Das B-Feld ist quellenfrei. Es gibt keine magnetischen Monopole. Alle B-Feldlinien sind geschlossen.
In ladungsfreien Feldern gibt es keine Quellenfelder.
Die jeweils zweite der beiden Zeilen gibt Auskunft darüber, ob es geschlossenen Feldlinien gibt.
In statischen Feldern gibt es keine geschlossenen E-Feldlinien.
In ladungsfreien Feldern gibt es nur geschlossene E-Feldlinien.
Jede Änderung des B-Feldes führt zu einem elektrischen Wirbelfeld (Feld mit geschlossenen Feldlinien). Die Wirbel des elektrischen Feldes hängen von der zeitlichen Änderung der magnetischen Induktion ab.
Jeder Änderung des D-Feldes führt zu einem magnetischen Wirbelfeld (mit geschlossenen Feldlinien). Die Wirbel des Magnetfeldes hängen vom elektrischen Strom und vom Verschiebungsstrom ab.
Erläuterung der Größen
Skalare Felder
Das Symbol ρ steht für die Ladungsdichte ohne Berücksichtigung von Beiträgen, die durch eine elektrische Polarisation eines evtl. vorhandenen Mediums entstehen.
Vektorfelder
Die Stromdichte
gibt an, wieviel Strom pro Fläche in welche Richtung fließt. Dabei sind Beiträge nicht berücksichtigt, die durch Paramagnetismus und Diamagnetismus in einem evtl. vorhandenen Medium induziert werden.
ohne Berücksichtigung von Beiträgen durch die Polarisation des Mediums. Im Vakuum ist die elektrische Flussdichte bis auf einen Faktor, der nur durch das Einheitensystem bedingt ist, identisch mit der elektrischen Feldstärke.
ohne Berücksichtigung von paramagnetischen und diamagnetischen Beiträgen durch das Medium. Im Vakuum sind die magnetische Flussdichte und die magnetische Feldstärke wiederum bis auf einen Faktor identisch, der nur durch das Einheitensystem bedingt ist.
Die Beziehungen zwischen der elektrische Flussdichte und der elektrische Feldstärke, der magnetische Feldstärke und der magnetische Flussdichte sowie der Stromdichte und der elektrische Feldstärke werden durch die Materialgleichungen der Elektrodynamik beschrieben.
Die elektrische Feldstärke und die magnetische Flussdichte sind die physikalischen Felder. Bei Anwesenheit eines Mediums sind die elektrische Flussdichte und die magnetische Feldstärke Hilfsgrößen, die die Berechnung der Felder vereinfachen, da der Beitrag des Mediums nicht von vornherein bekannt sein muss.
Kovariante Formulierung der Maxwellgleichungen
In diesem Absatz wird, wie im übrigen Artikel, das SI-Einheitensystem verwendet. Dieses und die damit verbundenen Faktoren μ0, ε0 etc. empfinden viele Theoretiker gerade bei der kovarianten Formulierung der Elektrodynamik als unnatürlich und verwenden andere Systeme, etwa Gauß-Einheiten oder Heaviside-Lorentz-Einheiten, in denen die Grundgrößen der Elektrodynamik anders definiert werden. In der Literatur können deshalb verglichen mit dieser Darstellung Vorfaktoren wegfallen, hinzukommen oder an andere Stellen rücken.
Die Elektrodynamik, wie sie durch die Maxwellgleichungen beschrieben wird, ist verträglich mit der speziellen Relativitätstheorie. Dazu gehört, dass die Maxwellgleichungen in jedem Inertialsystem gelten, ohne dass sich beim Wechsel des Bezugssystems ihre Form ändert. Dies spielte historisch für die Entwicklung der Relativitätstheorie durch Albert Einstein eine wichtige Rolle.
Technischer formuliert sind die Maxwellgleichungen relativistisch kovariant oder forminvariant, das heißt, dass sie ihre Gestalt unter Lorentz-Transformationen nicht ändern.
Diese Eigenschaft ist den Maxwellgleichungen in der oben beschriebenen Form jedoch nicht ohne weiteres anzusehen. Es kann deshalb nützlich sein, durch eine Umformulierung der Theorie die Forminvarianz herauszuarbeiten, anders ausgedrückt: die Theorie »manifest kovariant« zu schreiben.
Hierzu muss man die oben auftretenden Größen
,_
usw. durch Größen ausdrücken, die ein klar definiertes, einfaches Transformationsverhalten unter Lorentz-Transformationen haben, also durch Lorentz-Skalare, Vierervektoren und Vierer-Tensoren höherer Stufen.
Ausgangspunkt für diese Umformulierung bilden die elektromagnetischen Potentiale φ (skalares Potential) und
(Vektorpotential), aus denen man die elektrischen und magnetischen Felder wie folgt erhält (siehe auch Elektrodynamik):
Diese Größen lassen sich zu einem Vierervektor, dem Viererpotential
zusammenfassen. Ebenso kann man aus Ladungsdichte ϱ und Stromdichte
die Viererstromdichte zusammensetzen:
Aus dem Vierpotential wird der elektrodynamische Feldstärketensor abgeleitet, dessen Komponenten bis auf Vorzeichen und konstante Vorfaktoren, die vom Einheitensystem abhängen, gerade die der elektrischen und magnetischen Felder sind:
Mit diesen Größen geschrieben kann man die beiden inhomogenen Maxwellgleichungen im Vakuum durch folgende kovariante Gleichung ersetzen:
Dabei wird, wie üblich, die Einsteinsche Summenkonvention benutzt, das heißt, über doppelt auftretende Indizes in Produkten (hier α) wird summiert.
Die beiden homogenen Maxwellgleichungen erhalten im Vakuum die manifest kovariante Form
Dies wird auch häufig mit dem Levi-Civita-Symbol kompakter geschrieben als
sind bei hinreichend kleinen Feldstärken in guter Näherung proportional zu einander. Die Abweichungen von dieser Proportionalität bei höheren Feldstärken bilden die Grundlage der nichtlinearen Optik.
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