Die Maximum-Likelihood-Methode (von engl. maximale Wahrscheinlichkeit) bezeichnet in der Statistik ein Schätzverfahren.
Sie ist aufgrund ihrer Vorteile gegenüber anderen Schätzverfahren (OLS- und Momentenmethode) das wichtigste Prinzip zur Gewinnung von Schätzfunktionen für die Parameter einer Verteilung. Bei dieser Methode wird von einer ZufallsvariablenX ausgegangen, deren Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion fX(x) von einem Parameterq abhängt. Liegt eine einfache Zufallsstichprobe mit nunabhängigen und identisch verteilten Realisationen vor, so lässt sich die Dichtefunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion wie folgt faktorisieren:
Statt nun für einen festen Parameter q die Dichte für beliebige Werte
auszuwerten,
kann umgekehrt für beobachtete und somit feste Realisationen
die Dichte als Funktion von
q betrachtet werden. Dies führt zur Likelihood-Funktion
Wird diese Funktion in Abhängigkeit von q maximiert, so erhält man die Maximum-Likelihood-Schätzung für q. Es wird also der Wert von q gesucht, bei dem die Stichprobenwerte
die größte Dichte- bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion haben. Der Maximum-Likelihood-Schätzer ist in diesem Sinne der plausibelste Parameterwert für
die Realisierungen
der Zufallsvariablen X. Die Maximierung dieser Funktion erfolgt, in dem man die 1. Ableitung nach q bildet und diese dann Null setzt. Da dieses bei Dichtefunktionen mit komplexen Exponentenausdrücken sehr aufwändig werden kann, wird häufig die logarithmierte Likelihood-Funktion verwendet:
Beispiel
Eine Urne enthält N=8 Kugeln, die entweder rot oder schwarz sind. Die genaue Anzahl M der roten Kugeln ist nicht bekannt.
Es werden n=4 Kugeln nacheinander gezogen und wieder zurück in die Urne gelegt.
Beobachtet werden x1=1 (erste Kugel ist rot), x2=1 (zweite Kugel ist rot),x3=0 (dritte Kugel ist schwarz) und x4=1 (vierte Kugel ist rot).
Gesucht ist nun die nach dem Maximum-Likelihood-Prinzip plausibelste Zusammensetzung der Kugeln in der Urne.
Die möglichen Parameter der Wahrscheinlichkeitsfunktion
sind
Hier entspricht der Erfolgswahrscheinlichkeit p einer Ziehung gerade dem Parameter q der Likelihood-Funktion.
Die zugehörige Likelihood-Funktion ist
Nun können wir die Funktionswerte berechnet
p
0
1/8
2/8
3/8
4/8
5/8
6/8
7/8
1
L(p)
0
0.002
0.012
0.033
0.063
0.092
0.105
0.084
0
Damit ist p=6/8=0.75 plausibelste Parameterwert für die Realisation 3 rote Kugeln bei 4 Ziehungen und somit der Schätzwert für p nach der Maximum-Likelihood-Methode, d.h. 0.75 * 8 = 6 rote Kugeln sind die wahrscheinlichste Anzahl.
Maximum-Likelihood-Schätzung
Als Maximum-Likelihood-Schätzung bezeichnet man in der Statistik eine Parameterschätzung, die nach der Maximum-Likelihood-Methode berechnet wurde.
Literatur
Schwarze, Jochen: Grundlagen der Statistik - Band 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik, 6. Auflage, Berlin; Herne: Verlag Neue Wirtschaftsbriefe, 1997
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