Maßtheorie

Die Maßtheorie ist ein Zweig der Mathematik, der die elementargeometrischen Begriffe Streckenlänge, Flächeninhalt, Volumen verallgemeinert und es dadurch ermöglicht, auch komplizierteren Mengen ein Maß zuzuordnen.

Die Maßtheorie bildet das Fundament der modernen Integrations- und Wahrscheinlichkeitstheorie (stochastische Analysis). Die Maßtheorie ermöglicht es, den Integralbegriff auf unstetige Integranden zu erweitern, die nicht Riemann-integrierbar sind.

Definitionen und Beispiele

Messraum, messbare Mengen

Für eine exakte Definition der Grundbegriffe der Maßtheorie beginnen wir mit einer Grundmenge Ω. Wenn eine gewisse Menge Σ von Teilmengen von Ω eine σ-Algebra bildet, dann heißt jede Menge, die Element von Σ ist, messbar (engl. measurable), und die Grundmenge Ω mit der Struktur Σ heißt Messraum (engl. measurable space). Eine Funktion, die die Struktur eines Messraums erhält, heißt messbare Funktion.

Vokabelerklärung:

Die Forderung, dass Σ eine σ-Algebra ist, bedeutet,

• dass Σ mit jeder Menge S auch deren Komplement Ω/S enthält,
• dass Σ die leere Menge (und damit auch deren Komplement Ω) enthält, und
• dass Σ bezüglich der abzählbaren Vereinigung abgeschlossen ist.

Beispiele für Messräume:

• Jede endliche oder abzählbar unendliche Menge, insbesondere also auch die Menge der natürlichen Zahlen N, bildet mit ihrer Potenzmenge als σ-Algebra einen Messraum.
• Die Menge der reellen Zahlen R bildet mit der Menge aller Intervalle einen Messraum.

Maß, Maßraum

Ein Maß μ ist eine Funktion, die jeder Menge S aus Σ einen Wert μ(S) zuordnet. Dieser Wert ist entweder eine nichtnegative reelle Zahl oder ∞ (siehe unten wegen möglicher Verallgemeinerungen). Ferner muss gelten:

• Die leere Menge hat das Maß null: μ({})=0;
• Das Maß ist abzählbar additiv, will sagen: wenn E₁, E₂, E₃,.._. abzählbar viele paarweise disjunkte Mengen aus Σ sind und E deren Vereinigungsmenge ist, dann ist das Maß μ(E) gleich der Summe ∑μ(E_k).

Die Struktur (Ω, Σ, μ) eines Messraums, auf dem ein Maß definiert ist, heißt Maßraum (engl. measure space).

Beispiele für Maße:

• Einigermaßen trivial: das Nullmaß, das jeder Menge S den Wert μ(S)=0 zuordnet.
• Das Zählmaß ordnet jeder Teilmenge S einer endlichen oder abzählbar unendlichen Menge die Anzahl ihrer Elemente zu, μ(S)=|S|.
• Das Lebesgue-Maß, Default-Maß auf der Menge der reellen Zahlen R, mit der σ-Algebra aller Intervalle, definiert als translationsinvariantes Maß mit μ([0,1])=1.
• Das Haar-Maß auf lokal kompakten topologischen Gruppen.
• Wahrscheinlichkeitsmaße, mit μ(Ω)=1.

Nullmenge, vollständig, fast überall

Eine Nullmenge ist eine Menge S aus Σ mit dem Maß μ(S)=0. Ein Maß heißt vollständig, wenn jede Teilmenge jeder Nullmenge in Σ enthalten ist. Eine Eigenschaft gilt fast überall in Ω, wenn sie höchstens in einer Nullmenge nicht gilt.

endlich, σ-endlich

Ein Maß heißt endlich, wenn μ(Ω)<∞. Ein Maß heißt σ-endlich, wenn Ω die Vereinigung einer abzählbaren Folge messbarer Mengen S₁, S₂, S₃,.._. ist, die alle ein endliches Maß μ(S_k)<∞ haben.

Beispiele:

• Die Menge der natürlichen Zahlen ist bezüglich des Zählmaßes unendlich, aber σ-endlich.
• Die Menge der reellen Zahlen R ist bezüglich des kanonischen Lebesgue-Maßes ebenfalls unendlich, aber σ-endlich, denn sie kann als Vereinigung abzählbar vieler endlicher Intervalle [k,k+1] dargestellt werden.

Die messbaren Teilmengen des R sind die Borel-Mengen.

Bemerkung:

σ-endliche Maße haben einige schöne Eigenschaften, die gewisse Analogie zu den Eigenschaften separabler topologischer Räume aufweisen.

Verallgemeinerungen

Eine mögliche Verallgemeinerung betrifft den Wertebereich der Funktion μ.

• Man kann nichtnegative reelle oder komplexe Werte zulassen (komplexes Maß).
• Ein weiteres Beispiel einer Verallgemeinerung ist das Spektralmaß, dessen Werte lineare Operatoren sind. Dieses Maß wird insbesondere in der Funktionalanalysis für das Spektraltheorem benutzt.

Historisch wurden zuerst endlich additive Maße eingeführt. Die moderne Definition, derzufolge ein Maß abzählbar additiv ist, erwies sich jedoch als nützlicher.

Ergebnisse

Der Satz von Hadwiger klassifiziert alle möglichen translationsinvarianten Maße im Rⁿ: das Lebesgue-Maß ist ebenso ein Spezialfall wie die Euler-Charakteristik. Verbindungen ergeben sich ferner zu den Minkowski-Funktionalen und den Quermaßen.