Krümmung

Krümmung einer Kurve

Unter der Krümmung einer Kurve versteht man in der Geometrie und Mathematik die Richtungsänderung pro Längeneinheit.

Zusammen mit der Windung beschreibt die Krümmung die Gestalt einer Kurve in der Umgebung eines Punktes.

Den Kehrwert der Krümmung nennt man Krümmungsradius.

Im Sonderfall einer ebenen Kurve (ihre Windung beträgt null) ist die Krümmung gleichbedeutend mit

wobei

Krümmung einer Fläche

Einer gewölbten Fläche merkt man ihre Krümmung an einer nach außen quadratisch zunehmenden Abweichung der Fläche von ihrer Tangentialebene an. Eine verstärkte Krümmung macht sich dann als stärkere Abweichung von der Ebene bemerkbar.

In der Differentialgeometrie weist man gekrümmten Flächen zwei Krümmungsradien zu: einen maximalen (N) und einen minimalen (M) in jedem Punkt. Sie stehen immer senkrecht aufeinander. Die Gauß-sche oder mittlere Krümmung ist geometrisches Mittel ihrer Kehrwerte:

Die zugehörige "Gauß'sche Schmiegungskugel" vereinfacht z.B. Berechnungen am Erdellipsoid erheblich.

In der Relativitätstheorie

befindet sich ein Beobachter zwar nicht im "üblichen" 3-dimensionalen Raum, kann aber die gesamte 4-D Raum-Zeit nicht wahrnehmen. Wenn er sich in einem Sternhaufen befindet - und die Sterne ringsum einmisst - bemerkt er "zusätzliche Krümmungen" an den Bahnkurven der Sterne um das Zentrum des Haufens. Die Newtonsche Mechanik lässt ihn auf Kräfte schließen, die er Gravitationskräfte nennt. In Wirklichkeit handelt es sich jedoch um Scheinkräfte als Folge der Krümmung der Raum-Zeit.

Jeder Stern fliegt sozusagen geradeaus, wie es angesichts der Raumkrümmung überhaupt möglich ist. Im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie gibt es letztlich keine Gravitationskräfte.