Kreise am Dreieck

In der Geometrie kann man für ein Dreieck folgende Kreise untersuchen, deren Mittelpunkte und Radien spezielle Eigenschaften haben:

• Umkreis
• Inkreis
• Ankreise

Umkreis

Der Umkreis ist der Kreis, der durch alle Eckpunkte des Dreiecks geht. Der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der 3 Seiten.

Inkreis

Der Inkreis ist der Kreis, der alle Seiten des Dreiecks in ihrem Inneren berührt (das heißt er berührt die Strecken zwischen den Eckpunkten und nicht ihre Verlängerungen). Er ist gleichzeitig der größte Kreis, der vollständig in einem Dreieck liegt.

Der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden des Dreiecks.

Ist F der Flächeninhalt des Dreiecks, so berechnet sich der Radius r des Inkreises durch

Ankreise

Für jedes Dreieck existieren genau drei Kreise, die jeweils eine Dreiecksseite im Inneren und von den beiden anderen Seiten die Verlängerungen berühren. Diese drei Kreise heißen die Ankreise des Dreiecks. Die Ankreismittelpunkte liegen jeweils auf der Winkelhalbierenden eines Innenwinkels und auf den Winkelhalbierenden der beiden Außenwinkel, die nicht zu dem Innenwinkel gehören.

Der Radius desjenigen Ankreises, der die Seite [BC] im Inneren berührt, ergibt sich aus

wobei F der Flächeninhalt des Dreiecks ist. Analog berechnen sich die Radien

Die Ankreismittelpunkte des Dreiecks ABC bilden ein Dreieck, dessen Höhenschnittpunkt der Inkreismittelpunkt des Dreiecks ABC ist.

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