Körper (Mathematik)

Ein Körper (engl.: Field) ist eine mathematische Struktur aus einer Menge M und zwei Verknüpfungen, die üblicherweise als Addition + und Multiplikation * bezeichnet werden, obwohl sie sich von denüblichen Grundrechenarten unterscheiden können.

Formale Definition

Eine Menge M mit zwei Verknüpfungen + und * ist ein Körper, wenn gilt:

• (M,+) ist eine Abelsche Gruppe, deren neutrales Element als 0 bezeichnet wird;
• (M/{0},*) ist eine abelsche Gruppe, deren neutrales Element als 1 bezeichnet wird;
• es gilt das Distributivgesetz a*(b+c) = a*b + a*c.

Diese Definition sorgt dafür, dass Multiplikation und Addition in der »gewohnten« Weise funktionieren. Das Inverse von a bzgl. der Addition ist -a und wird das Negative von a genannt, das Inverse von a bzgl. der Multiplikation ist a^-1 und wird der Kehrwert oder das Inverse von a genannt. Da die 0 keinen Kehrwert hat, wird sie aus der multiplikativen Gruppe herausgenommen.

Jeder Körper ist ein Ring. Die Eigenschaften der multiplikativen Gruppe heben den Körper aus den Ringen heraus. Wenn nur die Kommutativität der multiplikativen Gruppe fehlt, hat man einen Schiefkörper.

Jeder Körper ist ein Vektorraum über sich selbst (mit sich selbst als zugrundeliegendem Skalarkörper).

Beispiele

Bekannte Beispiele für Körper sind die Menge der rationalen Zahlen mit + und *,

die Menge der reellen Zahlen mit + und * oder die Menge der

komplexen Zahlen mit + und *.

Kompliziertere Beispiele sind endliche Körper und die p-adischen Zahlen.

Ein Gegenbeispiel bildet die Menge Z der ganzen Zahlen mit + und *.

(Z,+,*) ist kein Körper. Zwar ist (Z,+) eine Gruppe (neutral ist die

0, das Inverse zu a ist -a), aber (Z/{0},*) ist keine Gruppe. Es gibt zwar das Neutralelement 1, aber außer zu 1 und -1 gibt es keine Inversen (z. B. 3^-1 = 1/3 liegt nicht in Z).

Die ganzen Zahlen bilden einen Integritätsring, dessen Quotientenkörper die rationalen Zahlen sind.

Endliche Körper

Ein Körper ist ein endlicher Körper, wenn seine Grundmenge M endlich ist.

Die Bezeichnungen 0, 1, +, * verlieren dann ihre gewohnte Bedeutung, und man kann sie auch anders bezeichnen, zum Beispiel n statt 0, e statt

1, o statt +, x statt *. Da ein Körper zumindest die Null (n, Neutrales der Addition)

und die Eins (e, Neutrales der Multiplikation) enthalten muss, kann er nicht weniger als zwei Elemente haben (da 1 ein Element von M/{0} ist, sind 0 und 1 wirklich verschieden).

Der kleinste Körper besteht tatsächlich nur aus diesen zwei Elementen:

Grundmenge ist M = {n,e}.

Die Verknüpfungen o und x sind durch Verknüpfungstabellen definiert:

Addition:

Multiplikation:

Man bezeichnet diesen Körper (M,o,x) auch als F₂ (von engl. field).

Jeder Restklassenring Z/pZ modulo einer Primzahl p ist ein endlicher Körper, es gibt aber noch andere.

Ein endlicher Körper hat immer genau pⁿ Elemente, wobei p eine (beliebige) Primzahl ist, und n eine natürliche Zahl.

Zwei endliche Körper mit gleichvielen Elementen sind immer zueinander isomorph.

Zusätzlich gilt, dass für jede Primzahlpotenz pⁿ auch tatsächlich ein (bis auf Isomorphie eindeutiger) endlicher Körper existiert.

Schiefkörper

Fehlt einer Struktur zu den Körpereigenschaften nur die Kommutativität der Multiplikation, so spricht man von einem Schiefkörper. Ein Beispiel dafür bildet der Schiefkörper der Quaternionen.

Verwandte Themen

• Charakteristik
• Vektorraum