Innenproduktraum

Ein inneres Produkt ist eine Funktion, die zwei Elementen eines Vektorraums eine Zahl aus dem zugrundeliegenden Skalarkörper zuordnet. Das innere Produkt ist eine Verallgemeinerung des in reellen Vektorräumen definierten Skalarprodukts.

Ein Vektorraum, auf dem ein inneres Produkt definiert ist, heißt Innenproduktraum oder Prähilbertraum. Innenprodukträume verallgemeinern den Euklidischen Raum; sie ermöglichen damit die Anwendung geometrischer Methoden auf abstrakte Strukturen.

Formale Definition

Um den Begriff des Skalarprodukts auf abstrakte Räume zu übertragen, abstrahiert man einige minimale Eigenschaften, die ein Produkt zweier Vektoren besitzen muss, um im Fall des Euklidischen Raums mit dem geometrisch motivierten Skalarprodukt zusammenzufallen.

Sei V ein Vektorraum über dem Körper K der reellen oder komplexen Zahlen. Ein inneres Produkt ist eine positiv definite Hermitesche Form, das ist: eine Abbildung <·,·>: V×V→K die für alle x, y, z aus V und für alle a, aus K die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt:

• (1) <x,x> ≥ 0 (positiv);
• (2) aus <x,x> = 0 folgt x = 0 (definit);
• (3)
  (Hermitesch);
• (4) <x,ay+z> = a<x,y>+<x,z> (linear in einem Argument).

Bemerkungen:

• Der Überstrich im dritten Axiom bedeutet komplexe Konjugation. In einem reellen Vektorraum (wenn also K=R) hat die komplexe Konjugation keine Auswirkung; das innere Produkt ist dann nicht nur Hermitesch, sondern sogar symmetrisch.
• Aus Bedingungen (3) und (4) folgt <ax + z, y> = <x, y> + <z, y>; das Skalarprodukt ist also nicht nur eine Linearform im zweiten Argument, sondern auch eine Semilinearform im zweiten Argument, insgesamt also eine Sesquilinearform; über einem reellen Vektorraum ist das Skalarprodukt sogar eine Bilinearform.
• Bedingung (4) wird oft umgekehrt, für das erste statt für das zweite Argument gewählt. Man muss also aufpassen, ob das innere Produkt in einem gegeben Text linear im ersten oder im zweiten Argument ist.

Notation

Das innere Produkt wird mit einem Punkt als Multiplikationszeichen geschrieben: x·y. In der französischen Literatur ist ein tiefgestellter Punkt gebräuchlich: x.y. In der Funktionalanalysis oder wann immer sonst die Rolle des inneren Produkts als eine Funktion betont werden soll, bevorzugt man die Notation <x,y>. Davon abgeleitet ist die Bra-Ket-Notation, die in der Quantenmechanik gerne verwendet wird: <x|y>.

Wie bei der normalen Multiplikation kann das Multiplikationszeichen auch ganz weggelassen werden, wenn keine Missverständnisse auftreten können; das ist insbesondere in Texten der Fall, in denen Vektoren durch Vektorpfeile, durch Fettdruck oder durch Unterstreichen kenntlich gemacht sind und daher nicht mit Skalaren verwechselt werden können:

x·y = xy ist ein inneres Produkt,

ax dagegen ist ein äußeres Produkt.

Beispiel

Ein Beispiel für einen Innenproduktraum, der kein Euklidischer Raum ist, ist der Raum aller stetigen Funktionen von einem reellen Intervall [a,b] nach R mit dem inneren Produkt

,

wobei p(x) eine positive Gewichtsfunktion (oder "Belegung") ist (statt p(x)>0 genügt es, p(x)≥0 mit schwachen Zusatzbedingungen zu fordern). Eine orthogonale Basis dieses Raums heißt orthogonales Funktionensystem; Beispiele für solche Funktionensysteme sind die trigonometrischen Funktionen, die in Fourier-Reihen verwendet werden, die Legendre-Polynome, die Tschebyscheff-Polynome, die Laguerre-Polynome, die Hermite-Polynome usw.

Norm und Winkel

Das innere Produkt induziert eine Norm

Damit ist jeder Innenproduktraum ein normierter Raum.

Bemerkung: der Beweis, dass das so definierte ||·|| tatsächlich eine Norm ist, also insbesondere die Dreiecksungleichung erfüllt, erfordert als nichttrivialen Zwischenschritt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Die Norm kann man anschaulich als die Länge eines Vektors verstehen. Zumindest in geometrischem Kontext schreibt man die Norm üblicherweise mit einfachen Betragszeichen

und nennt sie auch den Betrag eines Vektors. Vektoren mit dem Betrag 1 heißen Einheitsvektoren.

Unter Verwendung der Norm kann man das Skalarprodukt beliebiger Vektoren

<x,y> = |x| |y| cos φ

schreiben. Die Zahl φ kann man geometrisch als den von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkel deuten.

Dabei verwendet man wiederum die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, die sicherstellt, dass -|x| |y| ≤ <x,y> ≤ |x| |y|, was die Voraussetzung dafür ist, dass wir den Quotienten '<x,y>/|x||y| als einen Cosinus interpretieren.

Diese geometrische Deutung legt es nahe, Vektoren, deren Skalarprodukt Null ist, senkrecht oder orthogonal zueinander zu nennen. Orthogonale Einheitsvektoren heißen orthonormal.

Einordnung in die Hierarchie mathematischer Strukturen

Mit der durch das innere Produkt induzierten Norm ist jeder Innenproduktraum ein normierter Raum, damit auch ein metrischer Raum, damit auch ein topologischer Raum; er besitzt also sowohl eine geometrische als auch eine topologische Struktur.

Ein vollständiger Innenproduktraum heißt Hilbertraum.

Bilinearräume erlauben auch die Betrachtung anderer Grundkörper außer den reellen oder komplexen Zahlen. Die Theorie der Bilinearräume ist eng verbunden mit der Theorie der quadratischen Formen (homogene Polynome vom Grad 2).

Verallgemeinerungen: metrischer Tensor, Bilinearräume, Relativitätstheorie

Vom Standpunkt der Tensoralgebra aus kann das innere Produkt

mit der Notation g(x,x):=>x,x> als ein Tensor zweiter Stufe

aufgefasst werden, wobei

Eine Verallgemeinerung von Innenprodukträumen sind Bilinearräume, bei denen das innere Produkt ersetzt ist durch eine Hermitesche Form oder Bilinearform, die nicht notwendig positiv definit ist. Ein wichtiges Beispiel ist der Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie, dessen Metrik in der gängigsten Konvention Eigenwerte mit den Vorzeichen (-,+,+,+) hat.